I SISTEMI DI NUMERAZIONE 1 Il sistema di numerazione decimale Il ▶  sistema decimale è un sistema di numerazione in base 10 , cioè un metodo che utilizza 10 cifre per rappresentare le quantità. L’“alfabeto” usato dal sistema decimale è costituito da : 10 simboli 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Per capire bene di che cosa si sta parlando, è molto importante comprendere la fra la e la sua . differenza quantità rappresentazione Per esempio, se un vaso di vetro contiene nove palline in Italia possiamo scrivere che essa contiene: , ma in Cina si scriverebbe che le palline sono: 九 9 palline La di palline è sempre la stessa, ma i modi per quella quantità sono tanti. quantità rappresentare Il sistema decimale utilizza 10 simboli (le cifre da 0 a 9) per rappresentare le quantità. Se la quantità da rappresentare ha il suo all’interno dell’“alfabeto”, il sistema decimale utilizza quel simbolo. simbolo corrispondente Quantità Rappresentazione in base 10 0 1 2 ... .... 9   /  sistema decimale  decimal system Per , poiché un singolo simbolo per rappresentarle non esiste, il sistema decimale . quantità superiori a 9 combina fra di loro più simboli Per rappresentare in forma visiva i numeri e comprendere come si combinano tra loro i simboli, si usa l’ . abaco Le aste dell’abaco, in base 10, possono contenere al massimo 9 palline; la decima pallina fa trasformare, per esempio, 10 unità ( ) in 1 decina ( ). La pallina che rappresenta la decina trova posto sulla prima asta a sinistra rispetto a quella delle unità. u da La rappresentazione di quantità superiori a nove è indicata nella tabella seguente. Quantità Rappresentazione in base 10 10 11 12 ... ... Il sistema decimale è un sistema di numerazione posizionale perché i simboli (cifre) usati per scrivere i numeri assumono un valore differente a seconda della posizione che occupano nel numero. esempio Il numero 123 è diverso dal numero 312 anche se le cifre che compongono i due numeri sono le stesse. Nel numero 123 sono presenti: Possiamo dire che nel numero 123 ci sono tre , due e un . 1 10 100 Osservando che: = 10 1 0 = 10 10 1 = 10 100 2 possiamo, scrivere che: 123 = 3 × 10 + 2 × 10 + 1 × 10 0 1 2 Infatti: 3 × 10 + 2 × 10 + 1 × 10 = 3 × 1 + 2 × 10 + 1 × 100 = 3 + 20 + 100 = 0 1 2 123 attenzione   Qualunque numero non nullo elevato allo 0 fa 1. Possiamo quindi concludere che conoscendo quante unità, decine e centinaia compongono il numero che   la quantità di palline in un vaso, è possibile ottenere la   di palline. rappresenta quantità Si può pensare anche di effettuare l’operazione inversa, cioè conoscendo la   di palline contenuta in un vaso, è possibile ottenere quante unità, decine e centinaia sono presenti nel numero che   quella quantità. quantità rappresenta Per ricavare questa informazione occorre   le palline in   in modo tale da individuare tutte le   che si possono ottenere. Le palline che avanzano (che restano) rappresenteranno le unità sull’abaco. dividere gruppi da dieci unità decine Togliendo le unità e posizionandole sull’apposita astina dell’abaco, è possibile sostituire a ognuna delle decine rimaste una pallina di colore diverso (per esempio rosso) e   nuovamente le palline in gruppi da 10. dividere Le palline che   sono le decine e vanno posizionate sulla seconda astina dell’abaco. I gruppi di 10 palline rimasti, possono essere   nelle centinaia. restano convertiti esempio Se prendiamo in considerazione nuovamente il numero 123 e suddividiamo le palline con il procedimento appena descritto otteniamo i seguenti gruppi. L’operazione matematica che è stata effettuata è una per la base del sistema di numerazione utilizzato (in particolare si tratta di una divisione per contenenza): i rappresentano le palline che vengono convertite nella pallina di valore successivo (con colore diverso), mentre i (che andranno poi ) rappresentano quante unità, decine e centinaia consentono di scrivere la quantità di partenza. divisione quozienti resti letti in verso contrario attenzione   La divisione può svolgere due azioni: (per ripartizione) per esempio: la nonna ha 12 caramelle e le distribuisce fra i 3 nipoti; distribuire (per contenenza) per esempio: il professore porta in palestra 20 alunni e li raggruppa in squadre da 5 alunni. raggruppare Lo sapevi che Gli antichi romani usavano un sistema di numerazione   non posizionale . Per esempio i numeri   e   rappresentano rispettivamente   e  , ma il simbolo I vale 1 indipendentemente dalla sua posizione nel numero: il valore di I è sempre pari a un’unità sia quando viene messo a sinistra del cinque V sia quando viene posto alla sua destra. Quindi: IV = 4 e VI =6 IV VI 4 6  >> pagina 58  Il sistema di numerazione binario Il  ▶ sistema binario è un sistema di numerazione in base 2 , cioè un metodo che utilizza 2 cifre per rappresentare le quantità. L’“alfabeto” usato dal sistema binario è pertanto costituito da : 2 simboli 0 1 La quantità di nove palline contenuta nel vaso considerata in precedenza, nel sistema binario essere scritta con il simbolo 9 perché non è compreso fra quelli disponibili in questo sistema. non può Se la quantità da rappresentare ha il suo all’interno  simbolo corrispondente dell’“alfabeto”, il sistema binario utilizza quel simbolo; per quantità superiori a 1 , invece, combina fra di loro più simboli utilizzando l’ abaco del sistema binario . Sulle aste dell’abaco binario (base 2) può trovare posto ; la seconda pallina fa trasformare, per esempio, 2 unità ( ) in una ( ). al massimo 1 pallina u duìna du La seguente tabella riporta alcune quantità e la loro rappresentazione sia nel sistema decimale sia in quello binario. Osserviamo che nelle prime due righe della tabella le due rappresentazioni coincidono. Quantità Rappresentazione in base 10 Rappresentazione in base 2 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 Per rappresentare la stessa quantità nel sistema binario, sono necessarie   rispetto a quante ne siano necessarie nel sistema decimale. più cifre Esistono importanti analogie fra il sistema di numerazione in base 10 e il sistema di numerazione in base 2; queste analogie caratterizzano anche tutti gli altri sistemi di numerazione posizionali.    /  sistema binario binary system UMORISMO INFORMATICO Ci sono solo 10 tipi di persone: quelle che conoscono la numerazione binaria e quelle che non la conoscono! attenzione   In tutti i sistemi di numerazione posizionali: la cifra più a destra rappresenta le unità; lo zero si usa per riempire le posizioni “vuote”; le operazioni matematiche seguono le stesse regole.  >> pagina 60  dal sistema decimale al sistema binario Il sistema binario è un sistema di numerazione perché i simboli (cifre) usati per scrivere i numeri assumono un valore differente a seconda della posizione che occupano nel numero. posizionale Usando l’abaco binario, siamo in grado di rappresentare qualunque quantità: posizionando pazientemente le palline ed effettuando le successive trasformazioni possiamo ottenere la rappresentazione in base 2 della quantità desiderata. Tuttavia se la quantità da rappresentare è , il per ottenere la sua rappresentazione potrebbe risultare . molto grande procedimento molto lungo Per velocizzare questa procedura si utilizzano che consentono di convertire un numero in base 10 in un numero in base 2 e viceversa, senza dover utilizzare gli abachi. metodi matematici esempio Convertiamo il numero 35 nella sua rappresentazione binaria. 10 Il procedimento da attuare è il seguente: si eseguono delle divisioni successive per la base 2; ci si ferma quando il quoziente diventa zero. I resti delle divisioni, letti da destra verso sinistra, forniscono le cifre del numero binario cercato, quindi: 35 = 10 100011 2 attenzione   La utilizzato viene scritta in basso a destra del numero che indica la quantità da rappresentare e prende il nome di . Per esempio: base del sistema di numerazione pedice 17 è il numero 17 in base 10 10 110 è il numero 110 in base 2 che corrisponde a 6 2 10 Questo deriva da un a quello seguito per la base decimale. procedimento ragionamento analogo le 35 palline in unità si individuano tutte le che si possono ottenere. Dividendo gruppi da due duìne Le palline che restano (in questo caso una) rappresentano le unità sull’abaco. Immaginando di togliere l’unità avanzata, posizionandola sull’astina delle unità dell’abaco binario, è possibile convertire le duìne rimaste nelle corrispondenti palline successive e dividere nuovamente le palline in gruppi da due. Le palline che (di nuovo una) sono le duìne che vanno posizionate sulla seconda astina dell’abaco. restano I gruppi di 2 palline rimasti, possono essere nelle palline successive e nuovamente raccolte a coppie. convertiti Questa volta restano zero palline, quindi la corrispondente astina dell’abaco binario rimane vuota. E così via, si trasformano le quattro coppie. Non restano palline. Si raggruppano le coppie. Non restano palline. E infine raggruppando per due,  resta una pallina. prova tu   Trasforma i seguenti numeri decimali in numeri binari. 319 10 578 10 823 10  >> pagina 62 dal sistema binario al sistema decimale La conversione di un numero in base 2 in un numero in base 10 si ottiene applicando un diverso rispetto a quello appena descritto. metodo matematico esempio Convertiamo il numero binario 110101 2   nella sua equivalente notazione decimale. Con considerazioni analoghe alle precedenti, poiché la base è 2, possiamo dire che in 110101 ci sono un   2 0 , zero   2 1 , un   2 2 , zero   2 3 , un   2 4   e un   2 5 . Per rappresentare questo concetto, si può utilizzare una   griglia . All’interno di ogni casella scriviamo una cifra del numero binario da convertire in base 10. 1 1 0 1 0 1 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 Abbiamo quindi che: 110101  = 2 = 1 × 2  + 0 × 2  + 1 × 2  + 0 × 2  + 1 × 2  + 1 × 2  = 0 1 2 3 4 5 = 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × 4 + 0 × 8 + 1 × 16 + 1 × 32 = = 1 + 0 + 4 + 0 + 16 + 32 =  53 10 Il sistema di numerazione ottale Il  ▶ sistema ottale è un sistema di numerazione in base 8 , cioè un metodo che utilizza 8 cifre per rappresentare le quantità. L’“alfabeto” usato dal sistema ottale è pertanto costituito da : 8 simboli 0 1 2 3 4 5 6 7 Il sistema ottale utilizza e le cifre da 0 a 7 per rappresentare le quantità ed è un sistema di numerazione . combina fra di loro posizionale In analogia con gli altri sistemi di numerazione descritti, l’abaco del sistema ottale ha le aste che possono contenere, ciascuna, ; la pallina successiva introdotta sull’asta fa convertire, per esempio, 8 unità ( ) in 1 ( ). al massimo 7 palline u ottina ot I primi otto numeri dei sistemi decimale e ottale hanno una perché entrambi i sistemi dispongono dello stesso simbolo per indicare la stessa quantità. Successivamente le rappresentazioni si differenziano: il numero 8 si indica con 10 , il numero 9 si indica con 11 ecc. rappresentazione coincidente 10 8 10 8 La base 8 non ha particolari applicazioni pratiche, ma suggerisce alcune riflessioni riguardo al funzionamento dei sistemi di numerazione. Per esempio si può osservare che per rappresentare la stessa quantità con il sistema ottale, sono necessarie   più cifre   rispetto al sistema decimale, ma   meno cifre   rispetto al sistema binario.    /  sistema ottale octal system attenzione   Il numero 291 8   non è   un numero in base 8 perché la cifra 9 non appartiene all’insieme dei simboli utilizzabili. Lo sapevi che Le mani dei personaggi dei disegni animati, soprattutto quelli umoristici, spesso hanno solo quattro dita: in questo modo sono più facili da disegnare e gli spettatori non ci fanno molto caso. Se Topolino usasse le dita per contare, userebbe il sistema ottale e conterebbe in base 8!  >> pagina 63 dal sistema decimale al sistema ottale Per convertire un numero da sistema decimale a sistema ottale si segue un procedimento analogo alla trasformazione da decimale a binario, ma le divisioni si eseguono in base 8. esempio Convertiamo il numero 28 10   nella sua rappresentazione ottale. Si eseguono delle divisioni successive per la base 8; ci si ferma quando il quoziente diventa zero. I resti delle divisioni, letti da destra verso sinistra, forniscono le cifre del numero binario cercato, quindi: 28 10   = 34 8 UMORISMO INFORMATICO Perché i programmatori confondono sempre Halloween e Natale? Perché OCT 31 = DEC 25! dal sistema ottale al sistema decimale Per trasformare un numero dal sistema ottale al sistema decimale si usa una griglia analoga a quella usata per la base 2. esempio Convertiamo il numero 712 8   nella sua equivalente notazione decimale, con considerazioni analoghe alle precedenti, poiché la base è 8, possiamo dire che in 712 ci sono due   8 0 , un   8 1   e sette   8 2 . Come per la trasformazione da binario a decimale, possiamo utilizzare una   griglia , usando questa volta la base 8; all’interno di ogni casella scriviamo una cifra del numero ottale da convertire in base 10.     7     1     2 8 2 8 1 8 0 Abbiamo quindi che: 712 = 2 × 8 + 1 × 8 + 7 × 8 = 8 0 1 2 = 2 × 1 + 1 × 8 + 7 × 64 = = 2 + 8 + 448 = 458 10 prova tu   Trasforma i seguenti numeri decimali in numeri ottali. 315 10 126 10 413 10 Trasforma i seguenti numeri ottali in numeri decimali. 732 8 615 8 122 8 Il sistema di numerazione esadecimale Il  ▶ sistema esadecimale è un sistema di numerazione in base 16 , cioè un metodo che utilizza 16 cifre per rappresentare le quantità. L’”alfabeto“ usato dal sistema esadecimale è pertanto costituito da ; dato che quando si arriva al 9 non esistono altre cifre numeriche, si utilizzano le prime lettere dell’alfabeto: 16 simboli 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Le quantità superiori al 9 non possono essere rappresentate come combinazione dei simboli da 0 a 9 perché altrimenti si ricadrebbe nella notazione decimale. Quindi per rappresentare la quantità 10 si utilizza il simbolo A, per rappresentare 11 si utilizza il simbolo B ecc. Esempi di numeri in base 16 sono 5A2D , 314 e BC . 16 16 16 Il sistema di numerazione esadecimale funziona in modo analogo a quello degli altri sistemi di numerazione: i 16 simboli disponibili (cifre da 0 a F) vengono utilizzati e per rappresentare le quantità seguendo le regole dei sistemi di numerazione . combinati fra di loro posizionali L’ ha le aste in base 16, che possono contenere, ciascuna, ; la pallina successiva introdotta sull’asta fa convertire, per esempio, 16 unità ( ) in 1 ( ). abaco del sistema esadecimale al massimo 15 palline u sedicina se I primi dieci numeri dei sistemi decimale ed esadecimale hanno perché entrambi i sistemi dispongono degli stessi simboli per indicare le stesse quantità. Successivamente le rappresentazioni si differenziano: la base 16 dispone di altri sei simboli, mentre la base 10 comincia a combinare le cifre disponibili. rappresentazione coincidente Nella seguente tabella sono messe a confronto le rappresentazioni delle stesse quantità nei diversi sistemi di numerazione descritti. Rappresentazione in base 10 Rappresentazione in base 2 Rappresentazione in base 8 Rappresentazione in base 16 0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F 16 10000 20 10 17 10001 21 11 La base 16 consente di rappresentare le quantità utilizzando rispetto al sistema decimale (così come rispetto al sistema binario e ottale) questo può costituire, soprattutto per numeri elevati, un vantaggio che spesso viene sfruttato in ambito informatico. meno cifre    /  sistema esadecimale hexadecimal system  >> pagina 65 dal sistema decimale al sistema esadecimale Per convertire un numero dal sistema decimale al sistema esadecimale si segue un procedimento analogo alle trasformazioni da decimale a binario e da decimale a ottale, ma le divisioni si eseguono in base 16. attenzione   I numeri binari si possono convertire in numeri esadecimali raggruppando le cifre in gruppi di 4 e convertendo ciascuno nell’equivalente in base 16. Per esempio: 10111001 = 1011 1001 = B9 esempio Convertiamo il numero 993 10   nella sua rappresentazione esadecimale. Si eseguono delle divisioni successive per la base 16; ci si ferma quando il quoziente diventa zero. I resti delle divisioni, letti da destra verso sinistra, forniscono le cifre del numero esadecimale cercato: 993 10   =   3E1 16 attenzione   Le divisioni successive in colonna eseguite durante il procedimento di conversione da decimale a esadecimale, per semplicità di chi conta, vengono effettuate in   base 10 . Per questo motivo, prima di scrivere il risultato finale, è necessario   sostituire i resti   compresi fra 10 10   e 15 10   con il corrispondente simbolo espresso in base 16. Non sostituire il simbolo è un   grave errore . Scrivere   993 10   =   3141 16   sottintende che nel numero 993 10   siano presenti 1 unità, 4 sedicine, 1 trentaduìna e 3 sessantaquattrine. Invece il numero 993 10   contiene 1 unità, E = 14 sedicine e 3 trentaduìne. dal sistema esadecimale al sistema decimale Per trasformare un numero dal sistema esadecimale al sistema decimale si usa una griglia analoga a quelle precedenti. esempio Convertiamo il numero esadecimale F19 16 nella sua equivalente notazione decimale, con considerazioni analoghe alle precedenti, poiché la base è 16, possiamo dire che in F19 ci sono nove 16 0 , un 16 1 e F (cioè una quantità pari a quindici) 16 2 . Utilizzando la griglia, è possibile scrivere:   F     1     9   16 2 16 1 16 0 Avremo quindi che: F19 = 9 × 16 + 1 × 16 + F × 16 = 9 × 16 + 1 × 16 + 15 × 16 = 16 0 1 2 0 1 2 = 9 × 1 + 1 × 16 + 15 × 256 = 9 + 16 + 3840 = 3865 10 attenzione   È importante osservare che la quantità di 16 2   è F 16 , cioè 15 10 . Risulta pertanto un grave errore impostare la griglia di soluzione nel modo seguente: NO   1     5     1     9   16 3 16 2 16 1 16 0 sostituendo cioè a F il valore decimale 15 prima di associare il “peso” corretto a ciascuna cifra. prova tu   Trasforma i seguenti numeri decimali in numeri esadecimali. 1423 10 3415 10 6312 10 Trasforma i seguenti numeri esadecimali in numeri decimali. 3DA 16 FC1 16 271 16