LE OPERAZIONI NEL SISTEMA BINARIO 2 Nel sistema binario, così come negli altri sistemi di numerazione, possono essere definite le quattro fondamentali: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. operazioni aritmetiche I procedimenti di calcolo seguono le stesse regole del sistema in base 10 con la differenza che l’abaco utilizzato è quello binario. Approfondimento – Le operazioni nel sistema binario L’addizione L’ addizione è l’operazione aritmetica che aggiunge numeri fra loro, ottenendo come risultato la loro somma . I numeri che vengono addizionati si chiamano addendi . L’ elemento neutro dell’addizione è lo 0. Se si aggiunge 0 in un’addizione, il risultato resta invariato. Quando gli addendi sono 0 o 1 è possibile eseguire le applicando la regola dell’abaco e otteniamo: addizioni in riga 0 + 0 = 0 2 2 2 0 + 1 = 1 2 2 2 1 + 0 = 1 2 2 2 1 + 1 = 10 2 2 2 Se, invece, vogliamo addizionare dei numeri composti da più di una cifra dobbiamo procedere con un’ tenendo conto del valore posizionale delle cifre: i numeri vengono riscritti incolonnando unità con unità, duìne con duìne ecc. L’incolonnamento consente di suddividere la somma complessiva in tante somme in colonna, ciascuna composta solo da 0 e 1. addizione in colonna esempio Calcoliamo la seguente addizione: 1100101001 2 + 100111010 2 Riscriviamo i due numeri incolonnati e sommiamo le cifre colonna per colonna, tenendo conto dei riporti (segnati in rosso). La sottrazione La sottrazione è l’operazione aritmetica che calcola la differenza tra due numeri: il primo numero si chiama minuendo , il secondo numero si chiama sottraendo e il risultato si chiama differenza . Nel caso della sottrazione, così come accade per l’addizione, il procedimento di calcolo segue le stesse regole del sistema decimale ma utilizzando l’abaco binario. È possibile eseguire le applicando la regola dell’abaco nel modo seguente: sottrazioni in riga 1 - 1 = 0 2 2 2 1 - 0 = 1 2 2 2 0 - 0 = 0 2 2 2 10 - 1 2 2 = 1 2 Se le cifre che compongono i numeri sono tante si usa la tenendo conto del valore posizionale delle cifre: i numeri vengono riscritti incolonnando unità con unità, duìne con duìne ecc. L’incolonnamento consente di suddividere la differenza complessiva in tante differenze in colonna, ciascuna composta solo da 0 e 1. sottrazione in colonna esempio Calcoliamo la seguente differenza: 10010101 2 – 1101100 2 Riscriviamo i due numeri incolonnati e sottraiamo le cifre una a una, tenendo conto del valore posizionale delle cifre e, se occorre, dei prestiti. attenzione In base 2, ogni prestito dalla colonna successiva fornisce una duìna (cioè due palline) alla colonna precedente. >> pagina 67 La moltiplicazione La moltiplicazione è l’operazione aritmetica che moltiplica due o più numeri fra loro, ottenendo come risultato il loro prodotto . I numeri che vengono moltiplicati si chiamano fattori . L’ elemento neutro della moltiplicazione è 1 . Moltiplicando qualunque numero per 1, si ottiene lo stesso numero. È possibile eseguire le applicando la regola dell’abaco binario nel modo seguente: moltiplicazioni in riga 0 × 0 = 0 2 2 2 0 × 1 = 0 2 2 2 1 × 0 = 0 2 2 2 1 × 1 = 1 2 2 2 Se, invece, vogliamo moltiplicare numeri con più cifre, si utilizza la tenendo conto del valore posizionale delle cifre: i numeri vengono riscritti incolonnando unità con unità, duìne con duìne ecc. L’incolonnamento consente di suddividere il prodotto complessivo in tanti prodotti, ciascuno composto solamente da 0 e 1. moltiplicazione in colonna esempio Calcoliamo il seguente prodotto: 10011 2 × 101 2 Riscriviamo i due numeri incolonnati e moltiplichiamo le cifre una a una. 1 0 0 1 1 2 x 1 0 1 2 = 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 - 1 0 0 1 1 - - 1 0 1 1 1 1 1 2 attenzione L’elemento neutro della moltiplicazione non è 0 perché moltiplicando qualsiasi numero per 0, si ottiene sempre 0. >> pagina 68 La divisione La divisione è l’operazione aritmetica inversa alla moltiplicazione: il primo numero si chiama dividendo , il secondo numero si chiama divisore . Il risultato si chiama quoziente . L’ elemento neutro della divisione è 1 . Quando il divisore è 1, il quoziente è sempre uguale al dividendo. È possibile eseguire le applicando la regola dell’abaco binario nel modo seguente: divisioni in riga 1 : 1 = 1 2 2 2 0 : 1 = 0 2 2 2 1 : 0 = impossibile 2 2 0 : 0 = indeterminato 2 2 È impossibile dividere qualsiasi numero per 0; la forma 0/0 risulta invece indefinita. Per operazioni con più cifre, si utilizza la tenendo conto del valore posizionale delle cifre. divisione in colonna esempio Calcoliamo la divisione: 10111 2 : 111 2 Il divisore 111 2 non sta in 1 2 , in 10 2 , ma nemmeno in 101 2 , quindi si considera il 1011 2 come primo numero maggiore o uguale del divisore. I passaggi successivi si svolgono in modo analogo, seguendo le regole delle divisioni in colonna. Il risultato della divisione è 11 2 con resto 10 2 . attenzione Il divisore non può mai essere 0 . Quando il è , qualunque sia il divisore (tranne 0), il quoziente è sempre 0. dividendo 0