ARITMETICA E ALGEBRA APPROFONDIMENTO A Il passaggio da un numero al suo inverso rispetto a una operazione può essere rappresentato con uno schema con una entrata e una uscita, entra il numero ed esce il suo inverso: a a 1 a __ a Applicando due volte lo stesso schema, si ottiene nuovamente il numero di partenza: a a L inverso dell inverso di un numero è il numero stesso. 2 2 2 3 Potremmo perciò scrivere, per esempio: INV+( _) = + _; INV ( _) = _ 3 3 3 2 esempi O Calcola in R: 3 4 _ a. INV INV + _ ( 4 )) = 3 ( 1 c. INV+(INV ( 2)) = __ 2 1 b. INV+(INV (0,2) = INV+ INV. _ ( 5 )) = 5 ( O Stabilisci se nell insieme N e nell insieme Z ogni elemento ha l inverso rispetto all addizione. Nell insieme N nessun numero diverso da 0, addizionato a un altro numero naturale, dà per risultato 0. Solo 0 ha l opposto: è opposto di sé stesso. In Z, invece, ogni numero ha l inverso rispetto all addizione; è l opposto: INV+(a) = a O Stabilisci se nell insieme Q ogni elemento ha l inverso rispetto alla moltiplicazione. In Q ogni numero diverso da 0 ha l inverso rispetto alla moltiplicazione ed il suo reciproco è: 1 INV (a) = __ a 1 L espressione INV (0) = _ non ha invece significato, è impossibile. Il nume0 ro 0 non ammette inverso rispetto alla moltiplicazione, perché il prodotto tra 0 e un altro numero non può mai essere 1. La tabella 2.1 mostra quali insiemi numerici tra quelli fondamentali (N, Z, Q ed R) hanno l inverso di ogni elemento rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione. Insieme Operazione Elemento neutro + 0 1 Soltanto 1 ha l inverso, essendo il reciproco di sé stesso + 0 Ogni elemento ha l inverso: INV+(a) = a 1 Soltanto 1 e 1 hanno l inverso: ciascuno di essi è il reciproco di sé stesso, perché: 1 1 = 1 e ( 1) ( 1) = 1 + 0 Ogni elemento ha l inverso: INV+(a) = a 1 Ogni elemento diverso da 0 ha 1 l inverso: INV (a) = __ a + 0 Ogni elemento ha l inverso: INV+(a) = a 1 Ogni elemento diverso da 0 ha 1 l inverso: INV (a) = __ a N Z ATTENZIONE! A In un insieme esistono elementi che sono inversi di sé stessi rispetto a una data operazione. L elemento neutro rispetto a una operazione è, per esempio, sempre l inverso di sé stesso rispetto a tale operazione. Per esempio: INV+(0) = 0 INV (1) = 1 Tra i numeri interi, anche 1 è inverso di sé stesso rispetto alla moltiplicazione: INV ( 1) = 1 102 Q R Tab 2.1 Inverso di ogni elemento Soltanto 0 ha l inverso, essendo l opposto di sé stesso