1 Insiemi, proposizioni e relazioni esempio O Considera i seguenti insiemi: A = {numeri naturali diversi da 0 minori di 6} = {1, 2, 3, 4, 5} B = {numeri naturali maggiori di 4} = {5, 6, 7, 8, 9, } C = {numeri naturali diversi da 0 pari} = {2, 4, 6, 8, } Determina gli insiemi: a. A B b. A B c. A C d. (A C) B Abbiamo: a. A B = {5} b. A B = {numeri naturali diversi da 0} c. A C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, }. Sono tutti i numeri naturali diversi da 0 fino a 5 e poi soltanto i numeri pari. d. (A C) B = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, }. Sono i numeri pari (tranne 0) fino a 4 e poi tutti i numeri naturali. Inoltre, notiamo che: Q è possibile considerare l unione di più di due insiemi; Q l unione tra un insieme A e un suo sottoinsieme S è l insieme A stesso: se S A, allora S A = A; Q in particolare, l unione tra un insieme A e l insieme vuoto è l insieme A: A = A. FISSA I CONCETTI L unione di A e B è l insieme formato dagli elementi appartenenti ad A, a B oppure a entrambi. 2.3 Classificare e rappresentare problemi I diagrammi di Eulero-Venn permettono di visualizzare relazioni di inclusione e di evidenziare se due insiemi hanno intersezione non vuota. Sono quindi utilizzati per rappresentare classificazioni oppure per dare un idea visiva di problemi in cui gli elementi sono raggruppati in più categorie. Per esempio, consideriamo i seguenti insiemi: U = Triangoli = {poligoni con tre lati} Triangoli rettangoli = {triangoli con un angolo retto} Triangoli isosceli = {triangoli con almeno due lati uguali} Triangoli equilateri = {triangoli con tre lati uguali} Disegnando il diagramma di Eulero-Venn otteniamo la loro classificazione: U Triangoli rettangoli Triangoli equilateri Triangoli isosceli Dal diagramma vediamo che i triangoli equilateri sono un sottoinsieme dei triangoli isosceli e che esistono triangoli rettangoli isosceli; non esistono, invece, triangoli rettangoli equilateri. 11