ALGEBRA Se, per esempio, scegliamo 1,41 (perché 1,412 = 1,9881) possiamo trovare che 1,412 è maggiore di 1,41 e appartiene ad A (perché 1,4122 = 1,9937). Il procedimento non ha termine: comunque scegliamo x Q, tale che x2 x con la stessa proprietà. La classe B non ha minimo: dato un numero razionale positivo il cui quadrato sia maggiore di 2, se ne può sempre trovare un altro, che sia minore e che abbia la stessa caratteristica (e quindi anch esso appartenente a B). Se, per esempio, scegliamo 1,42 (perché 1,422 = 2,0164) possiamo trovare 1,419 che è minore di 1,42 e ha la stessa caratteristica di appartenere a B (perché 1,4192 = 2,0136). Il procedimento non ha termine: comunque scegliamo x Q, tale che x2 > 2, possiamo sempre trovare un numero razionale x _} b a hanno come elemento separatore __, che è il massimo del sottoinsieme A. b Ma l assioma della continuità richiede che l elemento separatore esista per ogni partizione. Per dimostrare che un insieme non è continuo basta allora individuare una partizione che non abbia questa caratteristica. esempio O Dimostra che l insieme Z dei numeri interi relativi non soddisfa l assioma della continuità di Dedekind e quindi non è continuo. Consideriamo una qualunque partizione di Z in due classi; per esempio: A = {x Z x 0} B = {x Z x > 0} Risulta che A ha un massimo, 0, ma B ha un minimo, 1. Non c è una soltanto delle due situazioni che figurano nell assioma di Dedekind. Z non ha quindi un ordinamento continuo (e infatti è discreto). 102