2 I numeri reali 4 La cardinalità del Esercizi da pag. 126 numerabile e la cardinalità di R Gli insiemi infiniti numerabili Gli insiemi numerici N, Z, Q, R sono tutti insiemi infiniti: sorge dunque il problema di confrontarli per stabilire se esiste una gerarchia delle infinità cioè, se esistono infinità più o meno numerose di altre. Innanzitutto ricordiamo che la cardinalità di un insieme è il numero dei suoi elementi. La cardinalità di un insieme A è indicata con #A. Ricordiamo poi che due insiemi sono in corrispondenza biunivoca se a ogni elemento dell uno corrisponde un elemento dell altro e viceversa. Stabilire una corrispondenza biunivoca è quindi il criterio più semplice per confrontare due insiemi. Due insiemi A e B hanno la stessa cardinalità quando possono essere messi in corrispondenza biunivoca: in tal caso #A = #B. Se invece l insieme A può essere messo in corrispondenza con un sottoinsieme proprio di B, ma non con B, allora ha cardinalità minore: #A #B. Questo criterio di confronto tra insiemi, che è immediato nel caso di insiemi finiti, viene utilizzato in matematica anche per gli insiemi infiniti e consente di stabilire una gerarchia tra gli insiemi infiniti. L insieme N è l insieme infinito che ha la cardinalità minore; la sua cardinalità è detta cardinalità del numerabile. KEYWORDS K nnumerabile / countable DEFINIZIONE Definiamo numerabile un insieme se ha la stessa cardinalità di N, cioè se può essere messo in corrispondenza biunivoca con N. esempio O Verifica che l insieme P dei numeri pari è numerabile. Possiamo stabilire questa corrispondenza biunivoca tra P e N: x Q a ogni x P associamo la sua metà __, che 2 P certamente appartiene a N; Q a ogni x N associamo il suo doppio 2x, che certamente appartiene a P. 2 0 4 8 6 10 12 14 20 0 N 1 2 4 3 5 6 7 8 35 10 20 107