3 Funzioni ed equazioni di secondo grado y Il rapporto ___ non è costante perché non è di primo grado la funzione che lega x l area y del triangolo alla lunghezza x della sua base (e altezza). Costruiamo allora una tabella in cui mettiamo in relazione i quadrati di x e i valori di y. Otteniamo: x2 1 9 12,25 51,84 121 144 y 0,5 4,5 6,125 25,92 60,5 72 ATTENZIONE! A Ab Abbiamo considerato soltanto i valori di x positivi perché x rappresenta la lunghezza di un segmento, che non può essere negativa. Determiniamo ora l incremento tra due successivi valori del quadrato della variabile x e indichiamolo con (x2): (x2) = x22 x21 Confrontiamo questi incrementi con y = y2 y1 (x2) 8 3,25 39,59 69,16 23 y 4 1,625 19,795 34,58 11,5 y _____ (x2) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 y Il rapporto _____ è costante: la grandezza y è direttamente proporzionale al qua (x2) 1 drato della grandezza x, secondo un fattore di proporzionalità uguale a __. 2 Esaminiamo un altro esempio di legge quadratica. Consideriamo un quadrato ABCD di lato l e l insieme dei suoi corrispondenti in una omotetia di centro A e rapporto r variabile. un insieme di infiniti quadrati che hanno il vertice A comune e due lati lungo le stesse semirette: D A C l B Il lato l di un qualsiasi quadrato dell insieme dipende dal rapporto r di omotetia ed è così esprimibile: l = l r Il lato del quadrato può essere espresso, quindi, come funzione lineare del rapporto r di omotetia. L area a del quadrato ABCD è l2; l area a del quadrato di lato l è (l )2 = (lr)2. Possiamo allora esprimere l area di ogni quadrato dell insieme in funzione del quadrato del rapporto r di omotetia: a = a r2 L area del quadrato varia in modo direttamente proporzionale al quadrato del rapporto r di omotetia. APPROFONDIMENTO A Tr la fine del 1500 e gli inizi del Tra 1600 Galileo aveva osservato, nella caduta di un grave, la proporzionalità quadratica tra la distanza da terra e il quadrato del tempo di caduta. In particolare, attraverso una serie di esperimenti in cui il tempo veniva misurato con un dispositivo simile a una clessidra che utilizzava acqua anziché sabbia, trovò che, per una sfera che rotolava lungo un piano inclinato, si raccoglieva una quantità di acqua doppia se la lunghezza del piano era quattro volte maggiore, tripla se era nove volte maggiore, sempre confermando un rapporto costante tra la variazione dello spazio e la variazione del quadrato del tempo. In ognuno dei precedenti casi possiamo dire che la variabile dipendente è funzio y ne quadratica della variabile indipendente: è costante il rapporto k = _____ e la 2 (x ) 2 funzione è espressa dalla formula y = k x . 143