RELAZIONI E FUNZIONI Le soluzioni di una equazione di secondo grado Consideriamo allora una generica equazione di secondo grado in una incognita, che può sempre essere ridotta alla forma detta forma normale: ax2 + bx + c = 0 (a, b, c R, a 0) Trovare le sue soluzioni significa trovare quei numeri reali che, sostituiti all incognita x, rendono l equazione una proposizione vera; ciò corrisponde a trovare quei valori di x per i quali la funzione y = ax2 + bx + c assume il valore 0. ATTENZIONE! A P forma normale si intende Per riscrivere il polinomio di secondo grado mettendo in evidenza i coefficienti della x e il termine noto. Risolvere una equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0 equivale a trovare i punti in cui la parabola di equazione y = ax2 + bx + c interseca l asse delle ascisse. y O O b x a c x Il grafico della funzione y = ax2 + bx + c è, come abbiamo visto nel precedente paragrafo, una parabola con asse di simmetria parallelo all asse delle ordinate. Sono, quindi, possibili tre casi diversi: a. la parabola ha due intersezioni con l asse delle ascisse: le due intersezioni individuano due punti simmetrici rispetto al suo asse; in questo caso l equazione ax2 + bx + c = 0 ha, nell insieme R, due soluzioni; b. la parabola è tangente all asse delle ascisse: i due punti simmetrici di intersezione coincidono nel vertice della parabola; l equazione ax2 + bx + c = 0 ha, nell insieme R, una sola soluzione; c. la parabola non ha punti di intersezione con l asse delle ascisse e l equazione ax2 + bx + c = 0 non ha soluzioni nell insieme R. Vediamo ora come, a partire da una equazione scritta in forma normale, ax2 + bx + c = 0, sia possibile ricavare una formula risolutiva per determinare le sue soluzioni. Per fare ciò opereremo alcune trasformazioni, alquanto artificiose, ma corrette perché rispettano il principio di equivalenza delle equazioni e le proprietà delle operazioni in R: ax2 + bx + c = 0 moltiplichiamo sia a sinistra sia a destra per 4a (l equazione rimane equivalente perché a 0) 2 2 4a x + 4abx + 4ac = 0 addizioniamo a sinistra e a destra b2 4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 158 x2 I punti in cui il grafico di una funzione interseca l asse delle ascisse sono i punti in cui il valore della funzione è 0. Tali punti sono gli zeri della funzione. KEYWORDS K z della funzione / zeri zeros of the function y x1