3 Funzioni ed equazioni di secondo grado esempi O Risolvi le seguenti equazioni senza ricorrere alla formula risolutiva: a. x2 3x + 2 = 0 b. x2 + x 6 = 0 c. x2 + 12x + 36 = 0 a. La somma delle soluzioni è 3; il prodotto è 2. Le due soluzioni sono x1 = 1 e x2 = 2. b. La somma delle soluzioni è 1 e il loro prodotto è 6: le due soluzioni sono x1 = 3 e x2 = 2. c. La somma delle soluzioni è 12 e il loro prodotto è 36: le due soluzioni sono coincidenti x1 = x2 = 6. O Trova in ognuno dei seguenti casi due numeri la cui somma sia s e il cui prodotto sia p: a. s = 16; p = 55 3 b. s = __; p = 1 2 a. Risolviamo l equazione x2 16x + 55 = 0. Con la formula ridotta, troviamo x1 = 11 e x2 = 5. 3 b. Risolviamo l equazione x2 __x + 1 = 0 equivalente alla 2x2 3x + 2 = 0. 2 Non ha soluzioni reali: non esistono due numeri reali che soddisfano queste condizioni. PROVA TU P Tr due numeri conoscendo la Trova loro somma e il loro prodotto: 7 a. s = __, p = 2 2 _ b. s = 2 3, p = 9 FISSA I CONCETTI Q Q O Disegna un rettangolo il cui perimetro è lungo 22 cm e la cui area misura 28 cm2. Il semiperimetro è 11 cm. Bisogna allora trovare due numeri la cui somma è 11 e il cui prodotto è 28: essi rappresentano le lunghezze dei lati del rettangolo. immediato trovare che si tratta di 4 e 7. Puoi verificare che essi sono le soluzioni dell equazione x2 11x + 28 = 0. 6 La scomposizione Q Risolvere l equazione ax2 + bx + c = 0 equivale a determinare gli zeri della funzione y = ax2 + bx + c (le ascisse dei punti in cui il grafico interseca l asse x). Una equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0 ha due, una oppure nessuna soluzione reale. > 0: due soluzioni reali e __ 2 b 4ac b distinte, x = _____________. 2a La corrispondente parabola interseca l asse x in due punti simmetrici rispetto al suo asse; = 0: due soluzioni reali e coincidenti. La parabola è tangente all asse x nel suo vertice; < 0: nessuna soluzione reale, S = . La parabola non interseca l asse x. ax 2 + bx + c = 0 con 0: b c x1 + x2 = __; x1 x2 = __. a a Esercizi da pag. 197 di un trinomio di secondo grado Le equazioni che noi consideriamo sono definite in R e le soluzioni che ricerchiamo sono soluzioni reali. Sappiamo che in R vale la legge di annullamento del prodotto: a b=0 a=0ob=0 Se, dunque, una equazione è formata dal prodotto di più fattori uguagliato a 0, essa può essere risolta uguagliando a 0 ciascuno di essi. Per esempio, dall equazione di secondo grado (x 2)(2x + 5) = 0 anziché svolgere i calcoli e risolverla come equazione di secondo grado (2x2 + x 10 = 0), possiamo scrivere le due equazioni di primo grado uguagliando a 0 i due binomi: x 2=0 2x + 5 = 0 165