ALGEBRA ATTENZIONE! A A Anche l insieme R può essere considerato come un particolare intervallo: quello formato da ogni numero reale. Lo possiamo così indicare ( ; + ). PROVA TU P Risolvi il sistema di disequazioni: Ri 3 x2 4x 7 < 0 4x 6 +x<x+1 {_ 3 Sono entrambi negativi; inoltre, ciascuna disequazione ha il coefficiente a positivo e il suo predicato è «essere maggiore . Quindi ha soluzione un qualsiasi numero reale. L insieme delle soluzioni del sistema è perciò R. In un sistema di disequazioni potranno esserci come vedrai più avanti anche disequazioni di grado superiore al secondo o disequazioni di altro tipo. Il procedimento di risoluzione del sistema sarà sempre lo stesso: per prima cosa risolviamo ciascuna disequazione e poi rappresentiamo sulla retta l insieme delle sue soluzioni; consideriamo poi l intersezione di tutti gli insiemi così individuati. FISSA I CONCETTI L insieme delle soluzioni di un sistema di disequazioni in una incognita è l intersezione degli insiemi delle soluzioni delle singole disequazioni e può essere: Q l insieme vuoto; Q un solo numero (un punto); Q un intervallo numerico limitato da due estremi (un segmento), che possono appartenere o meno all insieme delle soluzioni; Q un intervallo numerico limitato da un solo estremo (una semiretta); Q l insieme R (la retta). Esercizi da pag. 236 3 Le equazioni frazionarie Le equazioni che hai studiato finora, sono equazioni intere, cioè equazioni in cui l incognita compare solo a numeratore. In generale una equazione intera è una scrittura del tipo p(x) = 0 dove p(x) è un polinomio nella variabile incognita x. Abbiamo definito grado dell equazione il grado del polinomio p(x) ridotto a forma normale. Per esempio, x2 + 3x + 2 = 0 e 3x + 2 = 0 sono equazioni intere rispettivamente di secondo e di primo grado. KEYWORDS K fu funzione polinomiale / polynomial function ATTENZIONE! A U funzione polinomiale o Una razionale intera è perciò ottenibile operando a partire dalla variabile incognita con addizione, sottrazione, moltiplicazione, elevamento a esponente naturale. L esponente deve essere naturale perché la variabile non deve comparire a denominatore. Convenzionalmente indichiamo con x la variabile, anche se, come già detto, potremmo indicarla con una qualsiasi lettera. 214 A ogni equazione corrisponde una funzione: trovare le soluzioni dell equazione vuol dire trovare gli zeri della corrispondente funzione, cioè quel valore o quei valori di x in corrispondenza dei quali il valore della funzione è 0. Nel caso di equazioni intere, le corrispondenti funzioni sono del tipo y = p(x). Una funzione di questo tipo è detta appunto funzione polinomiale o funzione razionale intera. L aggettivo razionale indica che la sua espressione è ottenuta operando con la variabile con le operazioni definite nell insieme dei numeri razionali; l aggettivo intera indica che la variabile non compare a denominatore. Per esempio, le funzioni del tipo y = ax2 + bx + c, considerate nella precedente unità, il cui grafico è una parabola sono funzioni polinomiali di secondo grado. Una funzione polinomiale è definita per ogni valore reale della variabile x: è possibile assegnare a essa un qualsiasi numero reale e avremo sempre un corrispondente valore reale della variabile y. Quindi: una funzione razionale intera è sempre definita in R. Quando invece compaiono delle frazioni in cui la x compare a denominatore dobbiamo porre maggiore attenzione: non possiamo, infatti, assegnare alla varia-