5 Funzioni ed equazioni polinomiali Per disegnare il grafico di una funzione di cui vogliamo considerare poi il valore assoluto, è necessario determinare i punti di intersezione della funzione con l asse delle ascisse e individuare quindi gli intervalli di positività e negatività. Per questo motivo approfondiamo il concetto di valore assoluto e vediamo come trovare le soluzioni di equazioni e disequazioni in una incognita in cui questa compare anche in valore assoluto. FISSA I CONCETTI Q Q 2 Le equazioni e le disequazioni con valore assoluto Riprendiamo la definizione di valore assoluto: se P è una qualsiasi espressione algebrica, il suo valore assoluto |P| è: se P 0 P se P < 0 L espressione algebrica P è detta argomento della funzione valore assoluto. |P| = {P Per esempio, |3x + 5| = 3x + 5 |3x + 5| = 3x 5 se 3x + 5 0 se 3x + 5 < 0 5 x _ 3 5 x< _ 3 Le equazioni con valore assoluto Grafici di funzioni polinomiali si possono costruire con trasformazioni (stiramenti lungo gli assi, traslazioni) a partire dai grafici di funzioni polinomiali elementari del tipo y = xn, 0 n 3 Grafico di y =|f (x )|: se f (x ) 0 allora y = f (x ) se f (x ) < 0 allora y = f (x ) (simmetrico rispetto asse x ). Esercizi da pag. 282 KEYWORDS K a argomento della funzione valore assoluto / argument of the absolute value function ATTENZIONE! A S l espressione di cui calcoliamo Se il valore assoluto è positiva o nulla, essa rimane invariata; mentre se l espressione di cui calcoliamo il valore assoluto è negativa, occorre cambiare il segno a tutta l espressione. La risoluzione di una equazione in cui vi sia almeno una espressione in valore assoluto richiede, quindi, uno studio preliminare del segno degli argomenti dei valori assoluti che vi compaiono. L equazione viene studiata per casi, per ciascuno dei quali determiniamo la soluzione; occorre, poi, controllare se ognuna di esse è accettabile, se cioè appartiene all insieme che definisce il caso considerato. Le soluzioni dell equazione sono tutte e sole quelle accettabili nei singoli casi. Analizziamo solo equazioni semplici con al più due espressioni in valore assoluto. Il procedimento non cambia nel caso di equazioni con più di due espressioni in valore assoluto. Consideriamo, per esempio, la seguente equazione: |x 3| = 2x 3. Determiniamo il valore assoluto dell espressione algebrica: |x 3| = {x 3 se x 3 x + 3 se x < 3 L equazione assume forma diversa a seconda del caso considerato. Distinguiamo, pertanto, i due casi possibili: Q se x 3 l equazione diventa: x 3 = 2x 3 x 2x = 0 x = 0 la soluzione trovata non è un numero maggiore o uguale a 3 e, quindi, non è accettabile; Q se x < 3 l equazione diventa: x + 3 = 2x 3 x 2x = 3 3 3x = 6 x = 2 tale soluzione è accettabile, essendo 2 < 3. L equazione ha, perciò, una sola soluzione: x = 2. 253