5 Funzioni ed equazioni polinomiali inoltre, il termine a destra del predicato è senz altro non negativo; affinché l equazione abbia soluzioni, deve esserlo anche quello a sinistra: x+1 0 Bisogna quindi risolvere il sistema di disequazioni: 1 _ 5x 1 > 0 x > 1 5 x > __ x 0 5 x 0 {x + 1 0 x 1 Le soluzioni dell equazione devono appartenere quindi all insieme: Q _1_ {x R x > 5} 1 5 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 5 1 0 1 _ Procediamo moltiplicando entrambi i termini per 5x 1: _ 2 x + 1 = 5 x x Ora eleviamo al quadrato: x2 + 2x + 1 = 5x2 x 4x2 3x 1 = 0 1 Le soluzioni di questa equazione di secondo grado sono x1 = __ e x2 = 1. 4 Solo la seconda appartiene all insieme delle condizioni individuato poco 1 sopra (x > __): la sua soluzione è pertanto x = 1. 5 Risolviamo la seguente equazione irrazionale in cui compaiono due radicali: _ _ x 9 x 18 = 1 L equazione è definita se: x 9 0 x 9 {x 18 0 {x 18 x 18 L insieme di definizione è quindi {x R x 18}. Prima di elevare al quadrato per rendere più semplice il calcolo isolando un radicale e per assicurare la concordanza dei segni a sinistra e a destra del predicato, conviene scrivere l equazione come: _ _ x 9 = x 18 + 1 ATTENZIONE! A Da cui elevando al quadrato otteniamo: _ x 9 = x 18 + 2 x 18 + 1 Semplificando e isolando di nuovo il radicale abbiamo: _ 2 x 18 = +8 _ x 18 = +4 Eleviamo nuovamente al quadrato: x 18 = 16 x = 34 Poiché appartiene all insieme di definizione, x = 34 è la soluzione dell equazione data, come puoi verificare. Negli esempi precedenti abbiamo considerato radicali quadratici. Le stesse considerazioni possono essere fatte nel caso di radicali di qualsiasi indice pari. Occorre sempre individuare il sottoinsieme di R insieme di definizione dell equazione e procedere poi agli opportuni elevamenti a potenza. Naturalmente, nei casi meno elementari, possiamo ottenere equazioni di grado superiore al secondo, spesso di non semplice soluzione. S in una equazione irrazionale Se compare un solo radicale è opportuno, prima di elevare a potenza, isolare il radicale in una delle due parti dell equazione. Ci riportiamo così a uno dei casi considerati in precedenza. Se, invece, compaiono due o più radicali, dopo un primo elevamento a potenza, rimane ancora almeno un termine che contiene un espressione radicale: occorre allora isolare questo radicale in una delle due parti dell equazione e procedere nuovamente a un elevamento a potenza. 269