RELAZIONI E FUNZIONI Possiamo risolvere con l elevamento a potenza anche i casi in cui compaiono radicali di indice dispari: poiché l indice è almeno 3, otteniamo generalmente equazioni di grado superiore al secondo. esempio O Risolvi in R le seguenti equazioni irrazionali. _____ 4 a. x 1 = 2 L equazione è definita per x 1; è inoltre verificata la concordanza dei segni. Elevando alla quarta otteniamo: x 1 = 16 x = 17 soluzione accettabile 4 __ b. 6 + x = 2 __definita per x 0, ma poiché può essere così riscritta: 4 x = 4 non verifica la concordanza dei segni e quindi non ha soluzioni in R. __ 3 c. x + 3 = 0 sempre definita. Isolando il radicale ed elevando alla terza otteniamo la sua soluzione: x = 27. ________ 3 d. x(5x 6) = x sempre definita. Elevando alla terza entrambi i termini otteniamo: x(5x 6) = x3 x3 5x2 + 6x = 0 x(x2 5x + 6) = 0 x1 = 0, x2 = 2, x3 = 3 Tutti e tre i valori trovati sono soluzione dell equazione. PROVA TU P Ri Risolvi in R le seguenti equazioni irrazionali: _________ a. 6x + 3 = 4 x _______________ ____________ b. x 2 x 26 = 2 x 2 28 3 3 Q Q Q Approfondisci Disequazioni irrazionali 270 ____ FISSA I CONCETTI Equazione irrazionale: l incognita compare sotto radice p(x) = q(x). Insieme di definizione: se l indice n è pari p(x) 0; se n è dispari, x R Soluzione equazione: se n è dispari p(x) = (q(x))n se n è pari e q(x) < 0 S = n pari e q(x) = 0 p(x) = 0 n pari e q(x) 0 p(x) = (q(x))n n Procedimenti analoghi a quelli visti per risolvere le equazioni irrazionali, possono essere applicati anche per le disequazioni irrazionali. Tuttavia, per le disequazioni irrazionali occorre prestare una maggiore attenzione, soprattutto quado le radici hanno indice pari. Negli Approfondimenti online ti proponiamo alcune disequazioni irrazionali dove compaiono solo radicali quadratici (in cui l indice è 2). Le stesse considerazioni possono essere estese al caso di qualsiasi altro indice pari.