GEOMETRIA KEYWORDS K te teorema delle secanti / secant theorem ATTENZIONE! A S scriviamo la tesi del teorema Se delle secanti come PA : PC = PD : PB osserviamo che i termini medi della proporzione appartengono a una secante e i termini estremi appartengono all altra secante. TEOREMA (teorema delle secanti) Se da un punto P esterno a una circonferenza si tracciano due semirette secanti che intersecano la circonferenza rispettivamente nei punti A, B e nei punti C, D, allora i quattro segmenti di estremo P che si determinano sono nella proporzione: PD PA ___ ___ = PC PB PA PD Ip: PAB, PCD secanti Ts: ___ = ___ PC PB Dimostrazione Uniamo A con D e B con C e consideriamo i due triangoli APD e BPC. Essi hanno gli angoli congruenti: B A P O C D in comune; P C (perché insistono sullo stesso arco AC); Q A BC AD D PC B (perché la somma degli angoli di un triangolo è un angolo piatQ PA to: teorema 16, vedi tabella dei teoremi online). I due triangoli sono perciò simili per il primo criterio di similitudine e quindi i lati sono nella proporzione: Q Approfondisci I teoremi e gli assiomi PA ___ PD ___ = PC c.v.d. PB esempio O Tenendo conto che la tangente a una circonferenza può essere considerata come una posizione limite di una secante in due punti coincidenti, scrivi la proporzione che rende vera questa proposizione: Se da un punto P esterno a una circonferenza tracciamo una retta secante a essa nei punti A, B e una retta tangente nel punto T, allora vale la proporzione tra segmenti: P A O B T Considerando il segmento PT come due segmenti di secante coincidenti (PT PC PD), dal primo criterio di similitudine dei triangoli abbiamo: PA : PT = PT : PB Il segmento di tangenza PT è medio proporzionale tra i due segmenti di secante. 308