1 Operare con numeri e lettere esempio O Determina il MCD dei seguenti polinomi: 3x3 6x2 12 + 3x2 12x 3x3 12x Scomponendo in fattori otteniamo: 3x3 6x2 = 3x2(x 2) 12 + 3x2 12x = 3(4 + x2 4x) = 3(x 2)2 3x3 12x = 3x(x2 4) = 3x(x 2)(x + 2) Soltanto i fattori 3 e x 2 sono comuni a tutti i polinomi dati, quindi: MCD: 3(x 2) DEFINIZIONE Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più polinomi è il più piccolo polinomio che è multiplo di tutti i polinomi dati. Per determinare il mcm scomponiamo in fattori ogni polinomio e consideriamo i fattori comuni e non comuni, scelti con il massimo esponente. Per esempio, i polinomi: 4x2 36y2 x2 6xy + 9y2 x2 + 3xy si scompongono, rispettivamente, nel modo seguente: x(x + 3y) KEYWORDS K mi minimo comune multiplo di polinomi / least common multiple of polynomials 4(x2 9y2) = 4(x 3y)(x + 3y) (x 3y)2 L ultimo dei fattori compare elevato alla seconda potenza. Il mcm è, quindi: 4x(x + 3y)(x 3y)2 Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più polinomi si ottiene considerando il prodotto di tutti i fattori comuni e non comuni, ciascuno preso una sola volta con il massimo esponente con cui compare. APPROFONDIMENTO A P Poiché un polinomio può essere scomposto in fattori in più modi, anche il MCD e il mcm di polinomi non sono unici. Anche se ci limitiamo, come in questo paragrafo, a polinomi con coefficienti interi, possono esserci variazioni di segni. esempi O Determina il minimo comune multiplo dei seguenti polinomi: 2x3 4x2 2 + 2x2 4x 2x3 2x Scomponiamo in fattori i tre polinomi: 2x3 4x2 = 2x2(x 2) 2 + 2x2 4x = 2(1 + x2 2x) = 2(x 1)2 2x3 2x = 2x(x2 1) = 2x(x 1)(x + 1) Quindi, mcm: 2x2(x 2)(x 1)2(x + 1) ATTENZIONE! A U volta determinati il MCD o il Una mcm di più polinomi, è spesso preferibile lasciarli in forma di prodotto. O Determina il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore dei seguenti polinomi: 8b3 2b 2b + 1 2 + 8b2 + 8b Scomponendo in fattori i tre polinomi, otteniamo: 2b + 1 non è scomponibile 2 2 + 8b + 8b = 2(1 + 4b2 + 4b) = 2(1 + 2b)2 8b3 2b = 2b(4b2 1) = 2b(2b + 1)(2b 1) Quindi, mcm: 2b(2b + 1)2(2b 1) MCD: 2b + 1 35