7 Circonferenze 2 Condizioni per Esercizi da pag. 381 determinare l equazione di una circonferenza Vediamo ora come sia possibile determinare l equazione di una circonferenza conoscendone alcuni elementi, diversi dal centro e dal raggio. Osserviamo innanzitutto che, se in una equazione di secondo grado (che rispetti i criteri generali per poter essere l equazione di una circonferenza) poniamo uguali a 1 i coefficienti di x2 e y2, essa contiene soltanto tre valori numerici significativi: a, b, c. In genere, occorrono quindi tre condizioni per individuare una circonferenza, tante quanti sono i numeri che identificano la sua equazione. Per esempio, si può richiedere che la circonferenza passi per tre punti assegnati, non allineati, poiché per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza (teorema 40, vedi tabella dei teoremi online). Otteniamo così le tre condizioni che la individuano. Approfondisci I teoremi e gli assiomi Per determinare l equazione della circonferenza che passa per tre punti P1(x1 ; y1), P2(x2 ; y2), P3(x3 ; y3), occorre impostare un sistema di tre equazioni, in ognuna delle quali le incognite sono i tre coefficienti a, b, c: x 21 + y 21 + a x 1 + b y 1 + c = 0 x 22 + y 22 + a x 2 + b y 2 + c = 0 x 23 + y 23 + a x 3 + b y 3 + c = 0 sistema per determinare l equazione della circonferenza passante per tre punti assegnati esempio O Scrivi l equazione della circonferenza passante per i punti A( 1 ; 2), B(7 ; 2), C(3 ; 4). Risolviamo il problema ponendo le tre condizioni di passaggio per A, B e C, cioè sostituendo a x e y le rispettive coordinate dei tre punti: 1 + 4 a + 2b + c = 0 49 + 4 + 7a + 2b + c = 0 9 + 16 + 3a + 4b + c = 0 passaggio per A passaggio per B passaggio per C ATTENZIONE! A L circonferenza di equazione La x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 passa per un punto P(xP ; yP) se le sue coordinate sono soluzione dell equazione, cioè se sostituendo i valori xP e yP rispettivamente alle incognite x e y dell equazione otteniamo un uguaglianza vera. Risolviamo il sistema nelle incognite a, b, c: a + 2b + c = 5 7a + 2b + c = 53 {3a + 4b + c = 25 Sottraendo dalla seconda la prima equazione otteniamo: 8a = 48 a = 6 Sostituendo questo valore nella seconda e nella terza equazione abbiamo: 2b + c = 11 {4b + c = 7 Ricaviamo infine: b=2 c = 15 L equazione della circonferenza è allora x2 + y2 6x + 2y 15 = 0. 363