8 Ellissi, iperboli, parabole Indichiamo con P(x ; y) un punto qualunque appartenente al luogo. Per le condizioni poste, deve essere: d(P, F) = d(P, d) _______________ (x 0)2 + (y k)2 = y + k Eleviamo al quadrato ambedue le parti dell equazione e sviluppiamo i calcoli. Otteniamo: x2 + (y k)2 = (y + k)2 x2 + y2 + k2 2ky = y2 + k2 + 2ky 1 x2 = 4ky y = ___ x2 4k ATTENZIONE! A S il fuoco F stesse al di sotto della Se retta direttrice, avrebbe ancora coordinate (0 ; k), ma k sarebbe un numero reale negativo. La direttrice y = k caratterizzerebbe perciò l insieme di punti di ordinata positiva k. Figurativamente, avremmo questa situazione (con k = 1): y Anche considerando il caso in cui, nel riferimento scelto, F fosse al di sotto della direttrice, otterremmo la stessa equazione, ma in essa il numero k (essendo l ordinata di F) sarebbe negativo. y = k x Possiamo perciò concludere che la parabola con fuoco in F(0 ; k) e di direttrice la retta y = k ha equazione: F (0 ; k) 1 y = ___ x2 4k 1 Ponendo ___ = a possiamo scrivere l equazione di una qualunque parabola in 4k posizione normale, cioè con vertice nell origine e direttrice parallela all asse x: y = ax2 Tale parabola ha l asse delle ordinate come suo asse di simmetria, detto anche asse della parabola. Inoltre: F al di sopra di d la parabola volge la concavità verso l alto a > 0 F al di sotto di d la parabola volge la concavità verso il basso a < 0 esempi O Scrivi l equazione della parabola disegnata a lato con il fuoco di coordinate F(0 ; 2) e direttrice la retta di equazione y = 2. Dall ordinata del fuoco ricaviamo il valore di k = 2. Sapendo che 1 1 1 a = ___ otteniamo a = __ da cui l equazione della parabola è y = __ x2. 8 8 4k 1 O Determina il fuoco e la direttrice della parabola di equazione: y = __ x2. 6 1 3_ 1_ ___ _ _ Da a = = ricaviamo 4k = 6 k = . Il fuoco ha perciò coordi6 4k 2 3 3 nate (0 ; __); la direttrice è la retta di equazione y = __. 2 2 y d 1 O x F y F O 1 x d 423