Volume 3 Soluzioni Unità 1 Operare con numeri e lettere SINTESI ATTIVA SAPERE 1-H; 2-E; 3-B; 4-C; 5-F; 6-A; 7-L; 8-K; 9-J; 10-I; 11-M; 12-G; 13-D SAPER FARE 1 a. 3ab2(2 + 9c3 bc2); b. 5x2y3(5 2xy); c. (2y z)(3x + 2a); d. (a 1)(a2 b); e. (x 3)(x + 1) 2 a. (3 x2 + 5)(3 x2 5); b. (x 4)2; c. (3x + y)3; d. (3a b + 3)2 3 a. q(x) = 2x 3, r = 6; b. q(x) = 4x +3, r = 12; 2 1 4 c. q(a) = ___ __, r = __; d. q(x) = x 1, r(x) = x 9 3a 9 4 a. q(x) = x2 x + 2, r = 0; b. q(x) = x3 + 2x2 + 2x + 4, r = +9; c. q(x) = 3x 1, r = +1; d. q(x) = 2x + 5, r = +1 5 a. 1; b. 1; c. 0 e 1 6 a. sì; b. no 7 a. (x + 3)(x2 3x + 8); b. (x 2)(x2 + 8); c. (x 2)(x 1)(x + 1)2(x + 3) 8 a. (x + 5)(x2 5x + 25); b. (x2 y 1)(x4 y2 + x2 y + 1); c. (a2 + b2)(a4 a2 b2 + b4); d.(a2 + 25)(a + 5)(a 5) 9 a. (x ay)2 (x + ay)2; b. x (x + 1)3; c. (a 1)(a + 1 + b); d. 3 x3(2x 3)(2x + 3); e. (a + b 1)2; f. x(x + 1)(y2 2y 1) 10 MCD: x 1; mcm: 6xy(x + 1)(x 1)2 x+2 11 a. _____ CE: x y; a b; x+y 2 b. __(a2 + b) CE: b a2 3 a+4 x+2 3x 12 a. _________ ; ____________; b. _____ ; 1; 2 x 4a(a2 4) 2(x + 1)(1 x) 27 a6 25 a10 b2 c. ________2 ; _________ (a 2b) (a 3 b2)3 VERSO LA VERIFICA 1 D 4 B 2 B 5 C 3 D 6 B 7 a. 3b(a2 + 2)(a2 2); b. (2x + 3y)(4 x2 6xy + 9 y2); c. (3a b + 3)2 8 q(x) = x2 + 1, r(x) = 5x 5; b. q(x) = 3 x2 + 1, r(x) = 2 4(x 2)(x + 2)3 x+2 9 a. _____; b. _____________ x+6 x2 3 2 2 x 5x + 6 x 10 ________________ x4 x3 27x + 27 347 313 344 2 a. _; b. _; c. _ 100 90 99 3 a. 0,625; b. 0,428; c. 1,63 23 4 a. 2,¯ 5, ___; b. irrazionale; c. 2 9 5 finito e discreto 6 inf(S) = babbo; sup(S) = mamma; non sono rispettivamente né il minimo, né il massimo di S perché non appartengono a S 1 7 a. estremo superiore 6; b. estremo inferiore __; 2_ _ c. estremo inferiore 2 2; estremo superiore 2 2 8 Consideriamo, per esempio, la partizione di V nelle due classi: A = {x V x prima lettera con la parola d} B = {x V x > prima lettera con la parola d} A presenta un massimo e B presenta un minimo (la seconda parola che inizia con la lettera d): si hanno entrambe le situazioni del teorema di Dedekind: l assioma non è verificato _ 9 A = {x Q x2 3}; B = {x Q x2 > 3}; 1,732 < 3 < 1,733 10 Tra N e il suo sottoinsieme dei quadrati perfetti Q possiamo stabilire la seguente corrispondenza biunivoca: A ogni numero naturale associamo il suo quadrato e, viceversa a ogni numero quadrato perfetto associamo la sua radice quadrata non negativa. I due insiemi N e Q hanno, quindi la stessa cardinalità e, quindi, Q è numerabile 11 Dato il segmento AB e la retta r, consideriamo una semicirconferenza di centro C e diametro AB che risulta tangente al segmento AB nel suo punto medio. Preso un qualunque punto P su AB la perpendicolare per P a r incontra la semicirconferenza in un punto E. La semiretta di estremo C passante per E incontra la retta r in un punto D. Viceversa, preso un qualunque punto sulla retta e tracciando il segmento che lo unisce al centro della circonferenza, questo interseca la semicirconferenza in un punto e tracciando la perpendicolare a r, determiniamo il corrispondente punto sul segmento. In questo modo viene stabilita la corrispondenza tra ogni punto del segmento con ogni punto della retta. C r A E P O B D VERSO LA VERIFICA Unità 2 I numeri reali SINTESI ATTIVA SAPERE 1-E; 2-A; 3-D; 4-B; 5-C SAPER FARE 1 578 496 = 5 105 + 7 104 + 8 103 + 4 102 + 9 101 + 6 100 3,246 = 3 100 + 2 10 1 + 4 10 2 + 6 10 3 127,35 = 1 102 + 2 101 + 7 100 + 3 10 1 + 5 10 2 1 D 2 C 3 D 4 irrazionale; razionale; irrazionale 5 Un numero irrazionale è un numero che ha infinite cifre decimali senza una periodicità; possiamo costruire infiniti numeri irrazionali che differiscono per le diverse cifre presenti dopo la virgola in ognuno di essi. Quindi, tra due distinti numeri razionali come 1 e 3 abbiamo, per esempio, i numeri irrazionali: 2, 0100100010001 2,110123450012304 577