Scheda 7 CIRCONFERENZE EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA L equazione x2 + y2 = r2 definisce la circonferenza con centro l origine O e raggio r. esempio Scrivi l equazione della circonferenza di centro l origine e raggio 3. x2 + y2 = 9 Equazione della circonferenza di centro C(x0; y0) e raggio r L equazione della circonferenza di centro C(x0 ; y0) e raggio r è: 2 2 2 (x x 0) + (y y 0) = r ottenuta dalla traslazione di vettore v = ( x0 ; y0) della circonferenza di centro l origine e raggio r. Sviluppando i calcoli otteniamo l equazione generale o cartesiana della circonferenza: x2 + y2 + ax + by + c = 0 dove i coefficienti a, b, c sono numeri reali. esempio Scrivi l equazione della circonferenza di centro C(2 ; 1) e raggio 6. Sostituisci i valori nell'equazione (x x 0)2+ (y y 0)2 = r2: sviluppando i calcoli ottieni x2 + y2 4x + 2y 31 = 0 (x 2)2 + (y + 1)2 = 36 Raggio e centro della circonferenza Dall equazione generale, noti i coefficienti a, b, c se è soddisfatta la condizione di esistenza del raggio a2 + b2 > 4c, possiamo ricavare le coordinate del centro C(x0 ; y0) e il raggio r: a x0 = 2 b y0 = 2 a2 b2 x02 + y02 c 4 4 esempio Data l equazione x2 + y2 + 3x 8y 1 = 0, verifica se è una circonferenza e, in caso affermativo, determina il suo centro e il suo raggio. r = + c = Utilizza la condizione di esistenza del raggio a2 + b2 > 4c: a2 + b2 = 32 + ( 8)2 = 9 + 64 = 73 4c = 4 ( 1) = 4 73 > 4 l equazione è una circonferenza quindi: 3 8 a b 3 x0 = = y 0 = = = 4 C( ; 4) 2 2 2 2 2 77 9 r = x02 + y02 c = + 16 + 1 = 4 2 54