Scheda 2 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE LE EQUAZIONI RISOLUBILI DIRETTAMENTE Per equazione goniometrica intendiamo una equazione in cui compare almeno una funzione goniometrica dell incognita. Il metodo risolutivo dipende dal tipo di equazione. esempio y 2 2 sen x 3senx 5 = 0. Assumendo senx x2 come incognita possiamo risolverla con la formula risolutiva delle equazioni x1 di secondo grado: O 4 = 1 9 + 40 4 3 3 7 senx = = = 4 4 5 10 = 4 2 5 3 Quindi senx = 1 x = + 2k ; invece senx = è impossibile. 2 2 Q y=1 2 x 1 EQUAZIONI OMOGENEE (IN SENX E COSX) Sono equazioni costituite da un polinomio omogeneo, nelle variabili senx e cosx, uguagliato a zero; si risolvono dividendo per cosx o senx elevato al grado del polinomio, avendo cura di imporre la condizione di esistenza senx (cosx 0 o senx 0) e utilizzando la formula tanx = . cosx esempio 2 Q cos x senxcosx = 0 Se cosx = 0 x = + k . In tal caso l equazione diviene 0 = 0 e tali 2 valori dell incognita sono soluzione. Se cosx 0 allora possiamo dividere per cos2 x e otteniamo: cos2 x senxcosx = 0 1 tanx = 0 tanx = 1 x = + k . 2 2 4 cos x cos x DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Per risolvere disequazioni goniometriche elementari è sufficiente fare uso della circonferenza goniometrica come nell esempio seguente. esempio 1 senx > 2 1 Al valore corrispondono gli angoli di 2 6 5 5 e , quindi per tutti i valori < x < 6 6 6 la disequazione è soddisfatta (occorre poi aggiungere eventualmente il periodo 2k ). Nel caso di disequazioni non elementari è possibile fare uso delle formule goniometriche opportunamente in modo da ricondursi al caso elementare. 14 y y=1 2 x2 O x1 1 x