Scheda 8 GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO LE COORDINATE CARTESIANE NELLO SPAZIO TRIDIMENSIONALE Un punto nello spazio tridimensionale è individuato da tre coordinate: P(x ; y ; z). z Pz P Distanza tra due punti La distanza tra due punti P 1(x 1 ; y 1 ; z 1) e P 2(x 2 ; y 2 ; z 2) nello spazio tridimensionale si calcola con la formula: quota A 1 1 d(P 1, P 2) = Px = (x 2 x 1)2 + (y 2 y 1)2 + (z 2 z 1)2 1 O ordinata Py B ssa i asc y x esempio Determina la distanza tra i punti P 1(2 ; 1 ; 3) e P 2( 2 ; 1 ; 0) d(P 1, P 2) = ( 2 2)2 + (1 1)2 + (0 + 3)2 = 16 + 0 + 9 = 5 L EQUAZIONE DI UN PIANO I piani nello spazio sono individuati da equazioni del tipo: ax + by + cz + d = 0. Se d = 0 abbiamo ax + by + cz = 0 e il piano passa per l origine. Il vettore g = (a;b;c), le cui componenti sono i coefficienti dell equazione del piano, è perpendicolare al piano e si chiama vettore giacitura del piano. Due piani di equazioni ax + by + cz + d = 0 e a x + b y + c z + d = 0 sono paralleli se e soltanto se a : a = b : b = c : c Dati tre punti non allineati P 1(x 1; y 1; z 1), P 2(x 2; y 2; z 2) e P 3(x 3; y 3; z 3) è possibile trovare l equazione del piano che li contiene determinando il valore dei coefficienti a, b, c, d risolvendo il sistema ax 1 + by 1 + cz 1 + d = 0 ax 2 + by 2 + cz 2 + d = 0 ax 3 + by 3 + cz 3 + d = 0 e ponendo uno dei coefficienti uguale a 1 (per esempio d). 68 esempio Determina l equazione del piano passante per i punti P 1(1 ; 1 ; 0), P 2(2 ; 0 ; 1) e P 3(0 ; 1 ; 1) e verifica che è parallelo al piano di equazione 2x 4y 6z = 0. Sostituendo le coordinate dei tre punti e ponendo d = 1, ottieni il sistema: a + b + 1 = 0 2a + c + 1 = 0 { 2b + c + 1 = 0 Risolvendolo ottieni a = 1, b = 2, c = 3 quindi il piano cercato ha equazione x 2y 3z + 1 = 0. Per verificare che è parallelo al piano 2x 4y 6z = 0 calcola i rapporti a : a = 1 : 2, b : b = 2 : ( 4) = 1 : 2, c : c = 3 : ( 6) = 1 : 2. Poiché sono uguali i due piani sono paralleli.