2 Equazioni e disequazioni goniometriche Il metodo di risoluzione delle equazioni lineari in seno e coseno con le formule parametriche KEYWORDS K Un altro modo per risolvere questo tipo di equazioni consiste nel trasformarle in una equivalente in cui, però, compaia, solo una funzione goniometrica. A tale scopo utilizziamo delle formule che permettono di esprimere cos e sen nell unica funzione tan __ chiamate formule parametriche. 2 Per far questo utilizziamo una nuova variabile, generalmente indicata con t che indica, appunto, tan __. 2 Formule parametriche Se t indica tan _ : 2 2t 1 t2 cos = _2 sen = _2 1+t 1+t (10) Le formule precedenti non sono definite se = + 2k . In tal caso, infatti, _ _ = _ _ + k e la tangente non esiste in corrispondenza di tali valori. 2 2 Inoltre, le formule non sono definite quando il denominatore è uguale a 0 cioè quando t2 = 1, ma tale condizione non è mai soddisfatta in R e perciò non aggiunge alcuna ulteriore limitazione. Abbiamo in precedenza risolto l equazione goniometrica lineare in seno e coseno cosx senx = 1 con il metodo di sostituzione. Risolviamola ora utilizzando x le formule parametriche ponendo t = tan__. 2 2t 1  t2 Poiché cosx = _2 e senx = _2 otteniamo l equazione lineare in t: 1 + t 1 + t 2 2t 1  t _ _+1=0 1 + t2 1 + t2 1 t2 2t + 1 + t2 = 0 t=1 APPROFONDIMENTO A L formule parametriche si Le chiamano così perché riconducono il calcolo del seno, del coseno e della tangente di una ampiezza a un calcolo algebrico con un altra variabile, un parametro, generalmente indicata con t. Naturalmente, poiché t = tan _, 2 le funzioni dipendono sempre dalla variabile che rappresenta l ampiezza di un angolo; tuttavia in questo modo le funzioni goniometriche possono sempre essere sostituite da espressioni algebriche razionali (quelle in cui compare il parametro t) con le quali è in genere più semplice operare. ATTENZIONE! A L formule utilizzano il valore Le per indicare un ampiezza qualsiasi. Nel caso dell equazione cosx senx = 1, l ampiezza è la variabile x. 2t = 2 x x tan __ = 1 __ = __ + k x = __ + 2k 2 2 4 2 A questo punto bisogna controllare se i valori x = + 2k , esclusi all inizio per poter applicare le formule parametriche, sono soluzione dell equazione data. Sostituiamo nell equazione di partenza il valore al posto della lettera x e controlliamo se otteniamo un uguaglianza vera o falsa. Poiché le formule parametriche utilizzate non sono definite per x = + 2k , è necessario controllare se tali valori verificano o meno l uguaglianza. Quindi: cos sen = 1 1 = 1 Dal momento che abbiamo ottenuto un uguaglianza vera, anche x = + 2k è soluzione dell equazione. Ottenendo così il medesimo risultato ricavato con il metodo di sostituzione. fo formula parametrica / parametric formula Approfondisci Altre formule parametriche esempio O Risolvi l equazione goniometrica: sen2x + cos2x = 1 Poiché le formule generali indicano che 2tan _ 1  tan2 _ 2 2 cos = _____________ e sen = _____________ 1 + tan2 _ 1 + tan2 _ 2 2 81