2 Limiti di funzioni reali Infatti, se consideriamo le due funzioni: y = 0 (funzione costantemente nulla) y = f(x) la prima, qualunque sia a, ha come limite 0 e quindi: lim ( f(x)) = lim (0 f(x)) = lim 0 lim f(x) = 0 l = l x a x a x a x a In modo del tutto analogo al teorema della somma possiamo enunciare i seguenti teoremi, che riguardano il prodotto e il quoziente. TEOREMA (prodotto dei limiti) Se esistono, finiti, i limiti lim f(x) = l e lim g(x) = m con l, m R allora x a x a esiste, finito, il limite della funzione prodotto ed è: lim (f(x)  g(x)) = lim f(x) lim g(x) = l m x a x a x a TEOREMA (quoziente dei limiti) Se esistono, finiti, i limiti lim f(x) = l e lim g(x) = m con l, R ed m R0 x a x a allora esiste, finito, il limite della funzione quoziente ed è: lim f(x) f(x) l x a lim _____ = _ =_ x a g(x) lim g(x) m x a Una immediata conseguenza del teorema del quoziente dei limiti riguarda il limite del reciproco di una funzione; se lim g(x) = m con m R 0 x a allora 1 1 lim ___ = __ x a g(x) m Infatti, se consideriamo la funzione costante y = 1 possiamo scrivere: lim 1 1 1 x a lim _ = _ =_ x a g(x) lim g(x) m x a 1 La condizione affinché esistano, per x tendente ad a, il limite di ____ e il limite g(x) f(x) di ____ è che, al tendere di x ad a, g(x) non tenda a 0. g(x) Il caso in cui g(x) tende a 0 non deve, tuttavia, essere semplicemente scartato ma esaminato con attenzione perché può dare luogo a situazioni diverse, come analizzeremo in dettaglio nel prossimo paragrafo. esempio O Determina lim x5. x a Per il teorema del prodotto dei limiti: lim x5 = lim (x)5 = (lim x)5 x a x a x a Ricordando che, lim x = a otteniamo che: x a lim x5 = a5 x a Il risultato dell esempio precedente può essere generalizzato scrivendo: lim xn = an x a 115