RELAZIONI E FUNZIONI La costruzione del teorema fondamentale del calcolo integrale ATTENZIONE! A C Calcoliamo l area della regione qui in colore azzurro: areaAOV = y A 3 2 1 Consideriamo la funzione: 8 3 area 8 1 f : y = _ x3 2 x2 + 3x 3 la sua funzione derivata: f : y = x2 4x + 3 area 1 3 O x V area 1 e calcoliamo l area sottesa al grafico della funzione derivata in un intervallo [0 ; b], con b via via crescente da 1 a 4. Riportiamo i dati nella seguente tabella analizzando i quattro casi in cui l estremo b = 1, 2, 3, 4. Nelle colonne riportiamo la f(x), la f (x) e in ultima colonna l integrale definito di f (x) nell intervallo via via considerato. Perciò, l area della regione in colore è: _8_ _1_ 1 = _4_ 3 3 3 b 1 y = __x 3 2x 2 + 3x 2 y = x 4x + 3 3 4 3 1 1 1 + O x 1 2 1 3 1 2 y 1 1 3 1 2 y y 3 O x 1 2 x 3 x y 1 O 4 Da 3 a 4 l area è uguale a __ e, 3 considerata con segno, è positiva. 3 x 2 1 3 Da 2 a 3 l area con segno è ancora 2 __. 3 Perciò, in [0 ; 3] l integrale definito 4 2 2 è __ __ __ = 0. 3 3 3 1 1 y x + O x O + O x 4 3 1 2 Da 1 a 2 l area è __. L area con segno 3 è negativa e quindi, in [0 ; 2], 4 2 2 l integrale definito è __ __ = __. 3 3 3 y 1 (x 2 4x + 3)dx y x 1 y 3 y O Per x che va da 0 a 1, l area aumenta, ma sempre di meno. In [0 ; 1], l area sotto l arco di 4 parabola è __ (vedi calcolo nel box 3 di Attenzione!). y 3 O 0 y O note 1 y 4 In [0 ; 4] l integrale definito è perciò __. 3 1 1 O 404 4 1 x O + + 1 3 1 x O 4 1 x