i matem L eggere di matematica Una sistemazione definitiva all argomento venne infine data da Felix Klein (1849-1925), il quale riordinò le geometrie in tre classi fondamentali: Geometria euclidea: è la geometria delle superfici a curvatura nulla (Euclide), lo spazio pensato come un immenso parallelepipedo; in essa vale l assioma dell esistenza e dell unicità della parallela; la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto. (Rappresenta bene lo spazio fisico attorno a noi e da noi controllabile) Geometria ellittica (o sferica): è la geometria delle superfici a curvatura positiva (Riemann), lo spazio pensato come una immensa sfera; in essa non esistono rette parallele; la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di un angolo piatto. (Rappresenta bene lo spazio della superficie terrestre pensato come grande sfera) Geometria iperbolica: U m l> }iomi i> `illi «i viVi > V > > ni}> i > ­ oL> i kij®] lo «> io pensato con una immensa superficie a forma di sella; per un punto esterno a una retta vi sono più parallele; la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto. (Rappresenta bene lo spazio della fisica relativistica sotto alcune condizioni) Aprendosi la possibilità di costruire diversi sistemi assiomatici per descrivere lo spazio, tutti logicamente coerenti, e non essendoci più una sola geometria, la fondatezza di una teoria geometrica andava ricercata, più che nella sua adeguatezza nel descrivere la realtà fisica, nella sua coerenza logica interna: questioni quali la non-contraddittorietà degli assiomi scelti, la loro indipendenza, e la possibilità di trovare modelli si trovarono così al centro della ricerca matematica. Nel 1872 Klein, in occasione della sua nomina a professore dell università di Erlangen, tenne una conferenza programmatica dal titolo Osservazioni comparate sulle più recenti ricerche geometriche passata alla storia come Programma di Erlangen che, oltre ad aver modificato notevolmente la direzione degli studi geometrici e contribuito a dare una nuova visione unificata delle diverse geometrie, ha influenzato non soltanto la matematica, ma anche altre discipline, tra le quali in primo luogo la fisica. I protagonisti della matematica Felix Klein (1849-1925) è stato un matematico tedesco. Ha portato a compimento una sintesi delle teorie geometriche dell epoca con i risultati dell algebra astratta, esercitando una grande influenza sulle ricerche matematiche del suo tempo. Ha perfezionato i suoi studi a G ttingen dove si interessò in particolare delle geometrie non euclidee di J. Bolyai e N.I. Lobacevskij, e quindi a Parigi, dove ha seguito i corsi di J.-L. Lagrange. Ha ottenuto ancora giovanissimo un incarico presso l università di Erlangen; in seguito ha insegnato alla Technische Hochschule di Monaco, all università di Lipsia e infine a quella di G ttingen (dal 1886). I suoi studi hanno dato significativi contributi in diversi campi delle scienze matematiche: e sviluppato le intuizioni di Riemann sulle omonime superfici facendone elementi essenziali della teoria delle funzioni. Ha messo in rapporto le idee di Riemann con la teoria dei numeri, l algebra, la geometria a più dimensioni, la teoria delle equazioni differenziali. 477