7 Scomposizione in fattori di un polinomio 3 Il MCD e il mcm Esercizi da pag. 394 di polinomi Nelle unità precedenti abbiamo introdotto i concetti di massimo comune divisore e minimo comune multiplo sia per i numeri naturali (utilizzato per esempio nell addizione tra frazioni), sia per i monomi (utilizzati per esempio nel raccoglimento a fattore comune). Ora che abbiamo imparato a scomporre in fattori un polinomio, siamo in grado di calcolare il massimo comune divisore e minimo comune multiplo tra polinomi. I polinomi che qui considereremo hanno coefficienti interi. 3.1 Il massimo comune divisore di polinomi APPROFONDIMENTO A P Poiché un polinomio può essere scomposto in fattori in più modi, anche il MCD e il mcm di polinomi non sono unici. Anche se ci si limita a coefficienti interi, possono esserci variazioni di segni. Il massimo comune divisore (MCD) di due o più polinomi è definito in maniera analoga a quanto fatto per i numeri naturali e per i monomi: è il polinomio di grado massimo tra tutti quelli che dividono i polinomi dati. Per determinare il MCD si scompongono in fattori i polinomi e si considerano i fattori comuni, scelti con il minimo esponente. Per esempio, i polinomi: a2b + 2ab + b ab2 + b2 a 2b b risultano, rispettivamente così scomposti: b(a 1)(a + 1) b(a + 1)2 b2(a + 1) I fattori comuni a tutti sono il monomio b e il binomio a + 1; il loro prodotto, b(a + 1), è il MCD dei tre polinomi. ATTENZIONE! A I fattori f in cui si scompone un polinomio possono anche essere monomi, perché i monomi sono particolari polinomi. DEFINIZIONE Il massimo comune divisore (MCD) di due o più polinomi è il più grande polinomio che li divide tutti. Si ottiene considerando il prodotto di tutti i fattori comuni ai polinomi, ciascuno scelto con il minimo esponente con cui compare. Il numero 1 è un divisore di qualsiasi polinomio. Se i polinomi non hanno altri fattori comuni, il loro MCD è perciò 1. In tale caso, come per i numeri naturali, i polinomi si dicono primi tra loro. esempio O Determina il MCD dei seguenti polinomi: 3x3 6x2 12 + 3x2 12x 3x3 12x Scomponendo in fattori otteniamo: 3x3 6x2 = 3x2(x 2) 12 + 3x2 12x = 3(4 + x2 4x) = 3(x 2)2 3x3 12x = 3x(x2 4) = 3x(x 2)(x + 2) Soltanto i fattori 3 e x 2 sono comuni a tutti i polinomi dati, quindi il massimo comune divisore dei polinomi è: MCD: 3(x 2) FISSA I CONCETTI MCD: prodotto dei fattori comuni ai polinomi dati, considerati con il minimo esponente. 375
