RELAZIONI E FUNZIONI Esercizi da pag. 166 4 L equazione della retta 4.1 L equazione generale di una retta Abbiamo dimostrato che il grafico di una funzione lineare y = mx + q è una retta non parallela all asse delle ordinate: l espressione y = mx + q è una equazione di primo grado in due incognite che chiamiamo equazione della retta. Dimostriamo ora che ogni retta, nel piano cartesiano, è descrivibile attraverso una equazione di primo grado. In questo modo avremo stabilito una corrispondenza biunivoca tra le rette del piano e le equazioni di primo grado. TEOREMA (equazione di una retta) Nel piano cartesiano le coordinate dei punti di una retta sono tutte (e sole) le soluzioni di una equazione di primo grado; ogni retta è perciò descritta da una equazione di primo grado. Dimostrazione Distinguiamo due casi, a seconda che la retta sia parallela all asse delle ordinate del riferimento cartesiano scelto oppure non lo sia. a. Se la retta r è parallela all asse y, allora tutti i suoi punti hanno la stessa ascissa, per esempio x = k. x = k è allora proprio l equazione della retta parallela all asse delle ordinate e passante per (k ; 0): è, infatti, verificata da tutte e sole le coppie ordinate che hanno come primo numero k. una equazione di primo grado e il teorema, in questo caso, è quindi dimostrato. b. Se la retta r non è parallela all asse y, allora essa interseca tale asse in un solo punto Q (di ascissa 0), di cui possiamo indicare le coordinate con (0 ; q). Consideriamo ora un altro punto qualunque P della retta, di generiche coordinate (x ; y). Il coefficiente angolare della retta individuata dai punti Q e P è: y q y y P y Q y q y q quindi: m = _ m = _ = ____________ = _ = _ x x P x Q x 0 x x Poiché, per ipotesi, P è un punto qualunque della retta e poiché il coefficiente angolare di una retta rimane costante al variare della scelta dei suoi punti, allora: y q m = _ è proprio l equazione desiderata. x Moltiplicando per x (che è sicuramente diverso da 0, essendo P distinto da Q) i due termini dell equazione, otteniamo: mx = y q y q = mx y = mx + q Le coordinate dei punti di una retta sono quindi soluzioni di una equazione di primo grado: Q se la retta è parallela all asse y, l equazione è del tipo x = k; Q se la retta non è parallela all asse y, l equazione è del tipo y = mx + q. In particolare, se è parallela all asse x, l equazione è del tipo y = q. c.v.d. 138