GEOMETRIA Esercizi da pag. 215 4 Simmetrie nei poligoni Molte forme della natura presentano simmetrie e regolarità: il viso di una persona, lo stesso corpo umano, i cristalli, i fiori, una stella marina Anche nelle costruzioni dell uomo sono spesso presenti simmetrie: nelle piramidi egizie, nei templi greci, nelle chiese, sia nelle facciate sia nelle loro piante. Nel primo volume abbiamo già avuto modo di studiare le simmetrie (sia quelle assiali sia quelle centrali) e ne abbiamo analizzato caratteristiche e proprietà. In questo paragrafo vogliamo mostrare come queste possano caratterizzare i poligoni finora definiti, ma non senza prima richiamare alcuni concetti fondamentali e, in particolare, che cosa intendiamo per simmetria, distinguendo tra quella rispetto a un centro (simmetria centrale) e la simmetria rispetto a un asse (simmetria assiale) dandone anche una definizione più rigorosa. 4.1 Figure simmetriche rispetto a un centro Esempi di simmetrie. In modo informale possiamo dire che una figura è simmetrica rispetto a un centro se i suoi punti si corrispondono rispetto a tale centro, alla stessa distanza da esso. In modo più rigoroso, facendo riferimento agli oggetti e alle relazioni definite nel piano euclideo, diamo la seguente definizione. DEFINIZIONE Una figura si dice simmetrica rispetto a un centro O (centro di simmetria) se per ogni punto P della figura diverso da O esiste un punto P , ancora appartenente alla figura, tale che: a. O sta fra P e P ; P b. P O OP. O P TEOREMA 29 Ogni segmento è simmetrico centralmente rispetto al suo punto medio. Dimostrazione Dato un segmento AB, indichiamo con P B M il suo punto medio. Consideriamo M un punto P del segmento AB e supponiaA P mo P MB. Occorre dimostrare che esiste un punto P appartenente ad AB, dall altra parte rispetto a M e tale che P M MP, cioè: Ip: AM MB, P MB Ts: esiste P | P M MP e P AM I. AM MB (per ipotesi). II. Poiché P MB, risulta MP < MB (o, al più, MP MB se P coincide con B). III. Per l assioma 7 (trasporto del segmento), esiste dall altra parte di M un segmento P M MP; perciò P M < MB (o, al più, P M MB se P coincide con B). 194
