matematica nella realtà La matematica nel pallone Sono molti gli appassionati di calcio e se chiedessimo a ognuno di loro di pensare alla forma del pallone lo immaginerebbero come è, cioè un insieme di esagoni e pentagoni bianchi e neri sebbene i palloni moderni siano decisamente diversi. La struttura a 32 tasselli del pallone da calcio (20 esagoni bianchi e 12 pentagoni neri) risponde a tutte le specifiche sia elastiche sia geometriche necessarie: in particolare le parti cucite devono essere sufficientemente piccole e/o elastiche da consentire una deformazione che gli faccia assumere una forma sferica. Per il calcio è fondamentale che entrambe le richieste siano soddisfatte visto che il pallone subisce sollecitazioni meccaniche molto violente. Fino ai primi anni Ottanta i palloni erano in cuoio, materiale che rispondeva abbastanza bene a questi requisiti; fu dai campionati del mondo «Messico 86 che si iniziarono a usare , invece, i palloni sintetici. Ma le proprietà del pallone da calcio sono particolarmente interessanti dal punto di vista matematico infatti, fin dall antichità, le proprietà dei poliedri sono state oggetto di studio. I poliedri sono figure solide delimitate da un numero finito di poligoni aventi ogni lato comune a due di essi. I poligoni, i loro lati e i loro vertici sono detti rispettivamente facce, spigoli, vertici del poliedro. Un poliedro che ha tutte le facce tra loro congruenti, così come gli angoli che esse formano è detto regolare. A partire dai «pitagorici , per continuare con Platone, furono identificati un numero finito di poliedri regolari: il tetraedro (quattro triangoli equilateri), l esaedro o cubo (sei quadrati), l ottaedro (otto triangoli equilateri), il dodecaedro (dodici pentagoni) e l icosaedro (venti triangoli equilateri, fig. a.). Più aumenta il numero di facce, migliore è l approssimazione a una sfera sebbene risulti, comunque, decisamente modesta. Per migliorare tale approssimazione è necessario aumentare il a. Icosaedro b. Taglio dell icosaedro che porta alla costruzione numero di facce minimizzando, però, il numero di forme utidi un pallone da calcio lizzate. Così, prendendo l icosaedro possiamo costruire un poliedro formato da due poligoni regolari: il pentagono e l esagono. Per farlo è sufficiente eliminare ciascuno dei dodici 3 vertici in modo che, di ogni lato di ciascuna faccia triangolare, rimanga solo il terzo centrale trasformando i venti triango2 li in altrettanti esagoni regolari e aggiungendo dodici pentagoni regolari (fig. b.). La struttura che si ottiene vedrà ogni pentagono adiacente a sei esagoni e ogni esagono con tre lati in comune con un pentagono e altri tre con un altro esagono in modo alternato. Domanda 1. La struttura del pallone da calcio ottenuta (detta anche icosaedro troncato) ha 32 facce. Quanti sono gli spigoli e quanti i vertici? Domanda 2. Prova costruire la seguente versione a sei facce dell icosaedro troncato magari dopo averne fatto una fotocopia ingrandita 4 6 5 223