ARITMETICA E ALGEBRA Esercizi da pag. 368 1 L insieme R e le radici 1.1 I numeri irrazionali Abbiamo introdotto (unità 2 del volume 1) l insieme R dei numeri reali quale insieme formato da tutti e soli i numeri che si possono rappresentare in forma decimale, finita o infinita. Ne abbiamo visto alcune caratteristiche come la sua corrispondenza biunivoca con l insieme dei punti della retta, il suo ordinamento sulla retta e la sua continuità in tale ordinamento. L insieme R dei numeri reali è l unione di due insiemi numerici disgiunti: l insieme Q dei numeri razionali e quello dei numeri irrazionali, indicato con I. Risulta perciò R = Q I. KEYWORDS K irrazionale / irrational ir APPROFONDIMENTO A Ol a questi, vi sono infiniti altri Oltre numeri irrazionali, che non si possono ottenere dai razionali attraverso qualche operazione che derivi dall addizione o dalla moltiplicazione. Questi altri numeri irrazionali, che trascendono l algebra (cioè vanno oltre), sono detti numeri irrazionali trascendenti. Il numero , che indica il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro, è un esempio di numero irrazionale trascendente. Sono numeri irrazionali tutti quelli che, scritti in forma decimale, hanno una parte decimale infinita e non periodica: a differenza dei numeri razionali, non è, quindi, possibile scriverli come frazione. Alcuni provengono, per esempio, dall estrazione di radice quadrata di numeri positivi che non sono_quadrati perfetti o di radici cubiche di numeri che non sono _ _ 3 cubi perfetti, quali 2, 5, 7 e infiniti altri. I numeri irrazionali di questo genere, che si ottengono attraverso una combinazione di operazioni algebriche tra le quali l estrazione di radice, sono detti numeri irrazionali algebrici. Possiamo pensare a infiniti altri numeri irrazionali: qualunque numero con infinite cifre dopo il punto decimale che non si ripetono periodicamente è un numero irrazionale. Per esempio, consideriamo il numero 0,100111000011111 in cui le cifre decimali alternano una sequenza di 1 e una sequenza di 0, ogni volta con una cifra in più. Non è un numero decimale finito, né periodico: è un numero irrazionale. esempio O Costruiamo alcuni numeri irrazionali. a. 1,23112233111222333 Q Come può continuare la parte decimale? Q In base a quale regola? Q Il numero è periodico? Osserviamo la sequenza delle cifre; sono 123 poi 112233 poi 111222333 cioè il numero di cifre aumenta ogni volta di uno. Il numero così scritto è un allineamento decimale né finito né periodico, quindi è irrazionale. FISSA I CONCETTI Numeri irrazionali: numeri non razionali formati da infinite cifre decimali che non si ripetono periodicamente. 344 b. Immaginiamo di scrivere un numero in questo modo: Q la parte intera è 0; Q ogni cifra decimale è ottenuta lanciando un dado e scrivendo il numero che compare sulla sua faccia. Se effettuiamo un numero finito di lanci scriviamo un numero razionale, ma se supponiamo di poter effettuare un numero infinito di lanci, il numero ottenuto è probabilmente un numero irrazionale.