10 Calcolo delle probabilità 3 Dipendenza stocastica Esercizi da pag. 417 3.1 Gli eventi dipendenti e indipendenti Se mettiamo a confronto gli andamenti di due diversi fenomeni possiamo distinguere due casi. 1. Tra i due fenomeni non c è alcuna connessione. Ognuno dei due accade indipendentemente dall altro. Per esempio, se lanciamo contemporaneamente un dado e una moneta, non vi è alcuna connessione tra il risultato del dado e quello della moneta. La probabilità che esca Testa oppure Croce non modifica né è modificata dalla probabilità che esca una particolare faccia del dado. Quando il verificarsi di un evento non modifica la probabilità dell altro si dice che i due eventi sono stocasticamente indipendenti. 2. Tra i due eventi c è connessione. Il verificarsi dell uno è legato al verificarsi dell altro, che ne modifica perciò la probabilità. Per esempio la probabilità che il mio amico Mario che incontrerò tra poco abbia l ombrello dipende dal fatto che il cielo è molto nuvoloso: se il cielo è molto nuvoloso, la probabilità che il mio amico Mario, che incontrerò tra poco, avrà l ombrello è maggiore. I due eventi sono allora stocasticamente dipendenti. Non sempre è semplice stabilire se due eventi sono stocasticamente dipendenti oppure no: in alcuni casi bastano alcune considerazioni intuitive; in altri casi, invece, soltanto un attenta analisi statistica può fornire delle indicazioni. Un caso molto particolare di eventi tra loro dipendenti è quello in cui la connessione è talmente forte che si può parlare di rapporto di causa-effetto: il verificarsi dell uno rende certo il verificarsi dell altro. Analizziamo le due rispettive situazioni di indipendenza e di dipendenza considerando due diverse modalità di successive estrazioni da un urna contenente palline di colore diverso: Q estrazioni con reimmissione (ogni volta che si estrae una pallina, se ne registra il colore e la si rimette nell urna); Q estrazioni senza reimmissione (ogni volta che si estrae una pallina, se ne registra il colore e la si lascia fuori). APPROFONDIMENTO A Il termine stocastico è sinonimo di probabilistico o congetturale. Esso proviene dal greco stòchos che propriamente significa bersaglio, mira e, per estensione di significato, congettura (stochastikos che mira bene, che tende a congetturare). KEYWORDS K di dipendenza stocastica / stochastic dependence ATTENZIONE! A N paragrafi precedenti abbiamo Nei considerato eventi tra loro indipendenti. Ora iniziamo a considerare eventi che possono essere tra loro dipendenti. Ricaviamo così formule più generali per la congiunzione tra eventi; formule che nel caso di indipendenza riportano a quelle già considerate. Per esaminare le due diverse situazioni, supponiamo di avere un urna contenente 5 palline, di cui 2 bianche e 3 colorate di uno stesso colore. Vogliamo calcolare, nelle due diverse modalità, quali sono le probabilità dei seguenti eventi (che indichiamo con due lettere) con due successive estrazioni: BB = «entrambe le palline estratte sono bianche CC = «entrambe le palline estratte sono colorate BC = «la prima pallina estratta è bianca, la seconda è colorata CB = «la prima pallina estratta è colorata, la seconda è bianca BC o CB = «le palline estratte sono una bianca e una colorata Estrazioni con reimmissione Rappresentiamo con un grafo ad albero le successive estrazioni, indicando sui nodi se le palline estratte sono bianche (B) o colorate (C) e sui rami le probabilità che si passi da un nodo al successivo. 391