11 Formalizzare problemi O Un punto interno a un quadrato dista a, b, c (lunghezze note) da tre vertici consecutivi. Determina la distanza, che indichiamo con d, dal quarto vertice del quadrato. A =c b + 2 2 x12 b x2 c y2 B C + y1 = 2 = a2 b2 + c2 _ Ricaviamo perciò d = a2 b2 + c2 . 2 b2 + c2 0, cioè Questa espressione è definita in R se e solo se a_ a2 + c2 b2. Quando b = 0, la distanza d diviene a2 + c2 e il punto P coincide con il vertice B: deve essere allora anche a = c. Quando invece P coincide con il vertice D (quarto vertice del quadrato) la sua distanza da tale vertice è 0 e, infatti, b2 = a2 + c2. d P x1 Indichiamo con x1 e x2 le distanze del punto P dai lati del quadrato in figura posti verticalmente e con y1 e y2 le distanze dai due lati posti orizzontalmente. Il quadrato è così suddiviso in 8 triangoli rettangoli e, per il teorema di Pitagora, possiamo scrivere: d2 = x22 + y12 = c2 y22 + y12 = D y1 a FISSA I CONCETTI Q Nei problemi geometrici i valori delle incognite appartengono a R+. Nella risoluzione di un problema: se una grandezza risulta doppia di un altra preferiamo indicare come incognita la metà di tale grandezza si utilizzano termini, proprietà, formule e teoremi noti il disegno deve essere più generale possibile può essere utile tracciare nel disegno elementi non previsti dal testo 3 Problemi di primo grado Esercizi da pag. 449 nel piano cartesiano Il modello cartesiano, che fa uso di un sistema di riferimento del piano, è utile sia per problemi geometrici sia per problemi di natura diversa, economici, scientifici o altro. Diciamo che un problema geometrico è in forma analitica (oppure che è un problema di geometria analitica) se in esso i dati e le incognite, pur essendo oggetti di tipo geometrico, sono riferiti a un sistema di riferimento cartesiano e sono perciò espressi attraverso numeri o relazioni algebriche. KEYWORDS K forma analitica / analytic form fo Come sai, nel piano si stabiliscono le seguenti corrispondenze: Q un punto una coppia ordinata di numeri reali Q una retta una equazione di primo grado in due incognite Q un semipiano una disequazione di primo grado in due incognite esempio O Sono assegnati nel piano tre punti, A( 2 ; 1), B(2 ; 1), C(4 ; 1). Determina il punto D affinché il quadrilatero ABCD sia un parallelogramma e calcola il suo perimetro. Segniamo i punti A, B, C del piano cartesiano. Poiché vogliamo che il punto D sia il quarto vertice del parallelogramma, esso: Q deve appartenere alla retta passante per C e parallela a AB; tale retta 1 ha equazione y = _ x 3 2 Q deve appartenere alla retta passante per A e parallela a BC; tale retta ha equazione y = x 3 y B 1 A O 1 C x D 433