matematica nella realtà Risoluzione di un problema e uso del linguaggio matematico Per imparare una lingua straniera non basta conoscerne le regole, ma è necessario, soprattutto, esercitarsi a esprimersi in quella lingua in modo tale da mettere in pratica e assimilare quelle norme astratte che con tanta diligenza abbiamo imparato. L acquisizione del linguaggio matematico non si discosta molto dall apprendimento di una lingua straniera e il modo migliore per impararlo è quello di utilizzarlo per la risoluzione di problemi. Vediamone un esempio. «Trova due numeri positivi x e y la cui somma è uguale a 100 e che stiano tra loro nel rapporto 3 : 2. In questo caso particolare possiamo utilizzare delle formule risolutive che ci aiutano nel calcolo come b a y = s _ x=s _ a+b a+b dove s è il numero da scomporre nei due addendi x e y che stanno tra loro nel rapporto a : b. Nel caso proposto s = 100, a = 3, b = 2 otteniamo: x = 60, y = 40. Comunque, l utilizzo di formule risolutive (qualora esistano) per quanto sia un procedimento razionale, è anche quello più semplice e banale per risolvere un problema che, invece, è normalmente ben più complesso e più articolate sono le fasi che possiamo distinguere per arrivare alla sua soluzione: a) formalizzare in termini matematici le informazioni del problema; b)dedurre altre informazioni in una sequenza di passaggi che dai dati e dalle relazioni note permettano di giungere alle informazioni non note. Sempre utilizzando nei passaggi le regole della rappresentazione utilizzata; c) interpretare i risultati. Alla luce di queste tre fasi riprendiamo il problema di partenza. 1. La soluzione che stiamo cercando sono dei numeri indicati con x e y e possiamo formalizzare il problema scrivendolo sotto forma di equazioni: x + y = 100 x y {_3 = _2 2. Avendo tradotto il problema nel linguaggio dell algebra utilizziamo le sue regole per risolverlo. Trattandosi di un sistema di primo grado in due incognite possiamo applicare uno dei metodi risolutivi che conosci x + y = 100 x = ................. ............................................................................................................... y x__ __ {y = .................. {3 = 2 3. Sotto quali condizioni i valori appena trovati possono essere considerati soluzione del problema? La richiesta era che i valori da trovare fossero maggiori o uguali a zero e ciò non si evince dalle equazioni scritte al punto 1) che devono essere integrate dalle condizioni x 0; y 0 In generale le condizioni imposte (nel caso precedente x 0; y 0) sono delle restrizioni sull insieme delle possibili soluzioni: le abbiamo chiamate vincoli. Quindi è sempre necessario verificare che le soluzioni soddisfino i vincoli del problema, sia che essi siano espliciti o impliciti nel contesto. 457