Volume 2 Tavola degli assiomi e dei teoremi del piano euclideo Con A sono indicati gli assiomi, con C i corollari e con T i teoremi. Nella terza colonna sono riportati i riferimenti all unità e al paragrafo del volume 1. A1 Il piano è un insieme infinito. Gli elementi che lo costituiscono sono detti punti. Le rette sono sottoinsiemi propri e infiniti del piano. U8, par. 3.2 A2 a. Ogni punto del piano appartiene a infinite rette. b. Ogni coppia di punti distinti del piano appartiene a una sola retta. U8, par. 3.2 T1 L intersezione di due rette distinte o è vuota oppure è formata da un solo punto. Ip: r, s sono rette distinte Ts: o r s = o r s = {P } U8, par. 3.4 A3 Su ogni retta r si possono stabilire due ordinamenti totali, l uno opposto all altro. Ognuno dei due ordinamenti è tale che: a. tra due punti distinti qualunque A, B r c è sempre un terzo punto C r, che sta fra A e B; b. preso un qualunque punto C r, esistono due punti A, B r tali che C sta fra A e B. U8, par. 4.1 A4 Assioma di partizione del piano Ogni retta r divide il piano in due insiemi infiniti e disgiunti, detti semipiani, tali che, per ogni coppia di punti A, B non appartenenti alla retta r, si verifica uno solo dei seguenti casi: 1. il segmento AB non interseca la retta r (si dice in questo caso che A e B sono dalla stessa parte rispetto a r: appartengono allo stesso semipiano); 2. il segmento AB interseca la retta r in un punto (si dice che A e B sono da parti opposte rispetto a r: appartengono a semipiani opposti). U8, par. 4.2 A5 Assioma della parallela Per ogni retta r e ogni punto P del piano esiste una sola retta passante per P e parallela a r. U8, par. 5.1 T2 La relazione di parallelismo tra rette del piano è una relazione di equivalenza. U8, par. 5.1 A6 Assioma della congruenza definita nel piano una relazione di congruenza tra figure, che ha le seguenti caratteristiche: a. è una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva: è cioè una relazione di equivalenza; b. tutti i punti sono congruenti tra loro; tutte le rette sono congruenti tra loro; tutte le semirette sono congruenti tra loro; tutti i semipiani sono congruenti tra loro. U9, par. 1.1 A7 Assioma del trasporto del segmento Dati un segmento AB e un punto A appartenente a una retta r , su ognuna delle due semirette di r di estremo A esiste un unico segmento A B congruente ad AB. U9, par. 1.1 A8 Assioma del trasporto dell angolo e un punto A estremo di una semiretta r , su ognuno dei semipiani Dati un angolo rAs A s congruente a rAs. individuati dalla retta che contiene r esiste un solo angolo r U9, par. 1.1 T3 Se due angoli sono supplementari di angoli tra loro congruenti, allora sono congruenti. U9, par. 1.3 T4 Angoli opposti al vertice Due angoli opposti al vertice sono congruenti. U9, par. 1.3 A9 Primo criterio di congruenza dei triangoli Se due triangoli hanno congruenti due lati e l angolo compreso tra essi, allora sono congruenti. U9, par. 2.1 T5 In ogni triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti. U9, par. 2.1 T6 In ogni triangolo equilatero tutti gli angoli sono congruenti. U9, par. 2.1 509