ARITMETICA E ALGEBRA 1.2 Sistemi di equazioni Abbiamo visto che l insieme delle soluzioni di una equazione di primo grado in due incognite è formato da infinite coppie ordinate. KEYWORDS K in insieme delle soluzioni / solution set sistema di equazioni / system of equations sistema lineare / linear system In molti casi, però, può interessare sapere quali particolari coppie ordinate sono contemporaneamente soluzioni di più equazioni. Per esempio, quali sono le coppie ordinate di numeri reali (x ; y) che sono soluzione sia di y = 2x 5 sia di y = x + 1? In simboli, indichiamo questo problema riunendo le due equazioni con una parentesi graffa: y = 2x 5 {y = x + 1 Questa scrittura indica un sistema di equazioni. Risolverlo vuol dire cercare le soluzioni comuni a entrambe le equazioni. FISSA I CONCETTI Q Q Q Un sistema di equazioni in due incognite x e y è risolto dalle coppie ordinate di numeri (x ; y) che soddisfano entrambe le equazioni contemporaneamente. L insieme delle soluzioni è l intersezione degli insiemi delle soluzioni delle equazioni che lo compongono. Sistemi lineari: sistemi in cui tutte le equazioni sono di primo grado. DEFINIZIONE Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni, considerate contemporaneamente. L insieme delle soluzioni è l intersezione degli insiemi delle soluzioni delle equazioni che lo compongono. Risolvere un sistema di equazioni vuol dire perciò trovare le soluzioni che verificano tutte le sue equazioni. In questa unità considereremo sistemi in cui tutte le equazioni sono di primo grado: tali sistemi sono anche detti sistemi lineari. 2 I sistemi lineari Esercizi da pag. 27 in due incognite 2.1 Le soluzioni di un sistema lineare in due incognite KEYWORDS K si sistema determinato / determined system sistema indeterminato / indeterminate system sistema impossibile / impossible system ATTENZIONE! A N devi confondere il caso di Non sistema non determinato con quello di sistema indeterminato. Un sistema non determinato può essere indeterminato o impossibile. 6 Consideriamo un sistema lineare in due incognite, che indichiamo con x e y. Se scriviamo le equazioni in forma implicita, esso si presenta in questo modo: ax + by + c = 0 { dx + ey + f = 0 dove le lettere a, b, c, d, e, f indicano numeri reali. Il sistema può avere: una sola soluzione, cioè esiste una sola coppia (x ; y) di valori reali che soddisfa entrambe le equazioni. Il sistema si dice allora determinato; Q infinite soluzioni, cioè esistono infinite coppie (x ; y) di valori reali che soddisfano entrambe le equazioni. Il sistema si dice allora indeterminato; Q nessuna soluzione, cioè non esiste alcuna coppia (x ; y) di valori reali che soddisfa entrambe le equazioni. Il sistema si dice allora impossibile. Q