2 __ 140 cos x + __ + cos x __ [cosx] 145 sen __ x 141 [senx] 146 sen __ + __ 3 142 143 144 ( 3) ( 3) sen(x + __) + sen(x __) 3 3 3 sen2(x __) + cos2(__ + x) 2 2 __ 2cos x _ _ ( 4) 2sen(__ + x) 3 ESERCIZI Equazioni e disequazioni goniometriche [1] [senx + cosx] __ [ 3 cosx + senx] (6 (6 ) _1_ [ 2 (cosx 3 senx)] __ __ [1 3 ] 3) 147 cos(x + y)cos(x y) 3 [cos2x sen2y] 3 148 sen2 x + __ y + z + cos2 x + __ y + z ( ) ( 149 sen(x + y)sen(x y) ) [1] [cos2y cos2x] Le formule di duplicazione per il coseno e il seno Applicando le formule di duplicazione e le relazioni tra le funzioni goniometriche, semplifica le seguenti espressioni (eventualmente ponendo opportune condizioni). esercizio svolto 2senx sen2x ____________ 2senx + sen2x Applicando le formule di duplicazione del seno otteniamo: 2senx(1 cosx) 2senx 2senxcosx ______________ 2senx sen2x ________________ ____________ = = 2senx + sen2x 2senx + 2senxcosx 2senx(1 + cosx) Poniamo senx 0 e quindi x 0 + k e cosx 1, cioè x + 2k . Possiamo riunire le due condizioni in un unica condizione x k . Semplificando la frazione otteniamo: 1 cosx 2senx sen2x ________ ____________ = 2senx + sen2x 1 + cosx x 2 x 2 150 1 + cos2x [2cos2x] 154 cosx + sen2__ cos2__ cos2x 1 151 _________ [ tanx] 155 tan2x 2sen2xtan2x sen2x sen2x 152 ________ cos2x 1 153 (1 + cos2x)tanx [ 2cotx] [2senxcosx] 156 (senx + cosx)2 (cosx senx)2 1 cos2x 157 _________ tanx [0] [sen2x] [2sen2x] [sen2x] Verifica le seguenti identità (ponendo eventuali condizioni). esercizio svolto cos (x + y) cos (x y) ____________________ = tan ( y) sen(x + y) + sen(x y) Applicando le formule di addizione e sottrazione di seno e coseno otteniamo: cosxcosy senxseny cosxcosy senxseny __________ 2senxseny cos(x + y) cos(x y) ______________________________________ ____________________ = = = sen(x + y) + sen(x y) senxcosy + cosxseny + senxcosy cosxseny 2senxcosy = tany per x 0 + k D altra parte: tan( y) = tany L identità è quindi verificata. 103
