2 ESERCIZI Equazioni e disequazioni goniometriche La prima ha soluzioni x = 0 + k ; la seconda si riduce alle due equazioni elementari: 1 cosx = __ le cui soluzioni sono x = __ +2k 2 3 1 2 cosx = __ le cui soluzioni sono x = __ +2k 2 3 Le soluzioni possono essere riunite in un unica scrittura: x = 0 + k __. 3 esercizio svolto sen2x + 2 cos2(__   x) = 3 4 Utilizzando le formule di duplicazione del seno e di sottrazione del coseno, l equazione diventa: 2 2senxcosx + 2(cos __ cosx + sen __ senx) 3 = 0 4 4 _ 2 2senxcosx + 2 ___(cosx + senx) (2 2 ) 3=0 2senxcosx + cos2x + sen2x + 2cosxsenx 3 = 0 Ricordando la relazione fondamentale cos2x + sen2x = 1 e sommando i termini simili abbiamo: 4senxcosx 2 = 0 2senxcosx 1 = 0 Applicando la formula di duplicazione del seno a ritroso otteniamo infine: sen2x = 1 le cui soluzioni in 2x sono 2x = __ + 2k e quindi in x: x = __ + k . 2 4 200 sen2x 2sen2x = 0 _ _ [0 + k ; 4 + k ] 1 2 201 cos2x + sen2x = __ _ _ 202 cos2x + 2sen2x = 1 __ 2 __ _ _ [4 + k 2] [R] (6 ) (6 203 3sen x 3cos x = sen2x _ _ _ _ [ 6 + k ; 3 + k ] ) _ _ [0 + k ; 3 + k ] 2 1 + cos2x _ 6 _ _x_ _ _x_ _ _ ___ 210 cos (4 2) cos(4 + 2) = 3 senx _ _ [ 6 + 2k ] [0 + 2k ; 3 + 2k ] 3 207 ___sen2x = sen2x sen2x 209 _________ = tan2x 2 _2_ 206 cos2x = cosx 208 senx + cosx = cos22x _ _ [ 8 + k 2 ] 3 205 cos __ + x + cos __ x = __ _ 2 _ _ 204 cos2x + 2senxcosx = 0 _3_ _3_ [x = 4 + k ; x = 2k ; x = 2 + 2k ] _ _ [0 + k ; 4 + k ] _ _ [0 + 2k ; 3 + 2k ] esercizio svolto 2sen2x + 2sen2x = 3 Utilizzando la formula di duplicazione del seno l equazione diventa: 4senxcosx + 2sen2x 3 = 0 107