3 Trigonometria 3 La risoluzione di un Esercizi da pag. 157 triangolo qualunque Risolvere un triangolo significa trovare tutti i suoi elementi (lati e angoli) conoscendone alcuni. Un triangolo, infatti, si considera «risolto quando conosciamo le misure dei suoi lati e dei suoi angoli. I teoremi che saranno dimostrati in questo paragrafo permettono di stabilire sotto quali condizioni e in che modo un triangolo qualunque (e dunque non solo rettangolo) possa essere risolto. Per facilitare l enunciazione dei teoremi, ci atterremo alla convenzione, già utilizzata, di indicare con , , le ampiezze degli angoli relativi ai vertici A, B, C del triangolo e con a, b, c le misure dei lati opposti rispettivamente ad A, B, C. C b A a c B Il teorema dei seni KEYWORDS K teorema dei seni / sine theorem te TEOREMA DEI SENI In ogni triangolo valgono le seguenti uguaglianze: sen sen ____ = sen ____ = ____ a b c Dimostrazione Dato il triangolo ABC, tracciamo l altezza CH, relativa al lato AB sia nel caso in cui l angolo in A sia acuto sia nel caso in cui esso sia ottuso (come mostrato nelle figure a lato). Nel primo caso, per quanto visto nei paragrafi precedenti, risulta: CH = bsen CH = asen Dalle due uguaglianze ricaviamo: bsen = asen Poiché in nessun triangolo un lato misura 0, possiamo dividere per ab e ricaviamo l uguaglianza: sen sen ____ ____ = a b Nel secondo caso risulta: CH = bsenC AH CH = asen C a b c H A B C a b H A c B PROVA TU Il teorema dei seni con GeoGebra 129