3 Trigonometria Supponiamo ora di conoscere le misure di due lati e di__un angolo non compreso tra essi. Per fissare le idee supponiamo che sia a = 3 2, b = 3 e = __. Dal teo6 rema dei seni risulta: _ _ 3 2sen __ 2 asen 6 ___ _____ _________ sen = = = _ b 3 2 2 Tra 0 e vi sono due valori angolari per cui il seno è ___, cioè: 2 3 1 = __ oppure 2 = __ 4 4 Corrispondentemente troviamo due valori sia per il terzo angolo sia per il terzo lato: 1 = __ 4 3 2 = __ 4 7 1 = 1 = ___ 12 2 = 2 = ___ 12 bsen bsen c1 = ______1 5,8 c2 = ______2 1,6 sen sen Abbiamo quindi due diverse soluzioni. Questo caso con due soluzioni si presenta quando gli elementi noti sono due lati e un angolo non compreso tra essi, acuto e adiacente al lato maggiore. Se gli elementi noti sono i due lati a e b (con a > b) e un angolo non compreso ( ) possiamo, infatti, ottenere uno, oppure due triangoli, oppure nessun triangolo a seconda dell ampiezza di : k k k b a b b a B b b B a B In particolare, osservando la figura, possiamo notare che abbiamo: b un solo triangolo se sen = __ (circonferenza di raggio b tangente al lato BK); a b Q due triangoli se sen _ (circonferenza di raggio b esterna al lato BK). a Q ATTENZIONE! A P visualizzare le tre situazioni Per abbiamo utilizzato una circonferenza perché conosciamo il lato b, ma non l angolo che esso forma con il lato a. Non possiamo perciò determinarne la posizione, ma siamo certi che il suo estremo si muoverà sulla circonferenza di raggio b al variare dell ampiezza dell angolo . esempio O Trova un triangolo ABC con due lati b = 2 e a = 4 e l angolo , opposto a b, di ampiezza 45°. Con il teorema dei seni, determiniamo il seno dell angolo opposto ad a: _ asen _______ 2 2 __ 4sen45° _________ _____ sen = = = = 2 b 2 2 __ __ Poiché 2 è maggiore di 1, arcsen 2 non esiste e quindi non è possibile trovare alcun triangolo che possa soddisfare i dati del problema. Il problema non ha soluzioni. 131