GEOMETRIA FISSA I CONCETTI Q Q Teorema dei seni: sen sen ____ sen ____ ____ = = a b c Il teorema dei seni permette di risolvere un triangolo quando conosciamo: un lato e due angoli; due lati e un angolo non compreso. APPROFONDIMENTO A L lunghezza di una corda di una circonferenza è data dal prodotto tra la lunghezza del diametro e il La seno dell angolo alla circonferenza che insiste sulla corda stessa: AB = 2rsen A BC = 2rsen AC = 2rsen B D C Il teorema del coseno KEYWORDS K te teorema del coseno / cosine theorem PROVA TU Il teorema del coseno con GeoGebra I protagonisti della matematica Nella risoluzione di un triangolo possiamo incontrare situazioni diverse: i dati a disposizione possono dare luogo a una sola soluzione, a due soluzioni, oppure, se i dati sono incompatibili, a nessuna soluzione. Vi sono poi altre situazioni per le quali il teorema dei seni non è sufficiente: questo accade quando sono noti due lati e l angolo compreso oppure quando sono noti i tre lati del triangolo e se ne vogliono conoscere gli angoli. In tali casi torna utile il seguente teorema dovuto a Lazare-Nicolas Carnot, figura di spicco della Rivoluzione Francese. TEOREMA DEL COSENO In ogni triangolo valgono le seguenti uguaglianze: a2 = b2 + c2 2bccos b2 = a2 + c2 2accos c2 = a2 + b2 2abcos Lazare-Nicolas-Marguerite Carnot (1753-1823) partecipò attivamente alla Rivoluzione Francese sia come generale sia come politico, ma fu anche fisico e matematico allievo del matematico francese Gaspard Monge. Insieme allo stesso Monge, nel 1791, fondò l cole polytechnique, che era sia scuola militare sia università a carattere scientifico. Fu particolarmente attivo nello studio della geometria, si interessò anche di fisica, passione che infuse nel figlio Sadi-Nicolas-Léonard che, approfondendo gli studi del padre, pose le basi della termodinamica. 132 Dimostrazione Dimostriamo la prima delle tre uguaglianze. Occorre considerare due casi a seconda che l angolo sia acuto oppure ottuso (se è retto, cos = 0 e il teorema è una riformulazione del teorema di Pitagora): C C b a h A I. k K c h b B < __ 2 Da C tracciamo l altezza CK. Chiamiamo: h = CK, k = AK Abbiamo: h = bsen , k = bcos K k A a c B Per il teorema di Pitagora, applicato al triangolo CKB: a2 = h2 + (c k)2 = h2 + k2 + c2 2ck ma, nel triangolo AKC, h2 + k2 = b2 (per il teorema di Pitagora) e perciò: a2 = b2 + c2 2bccos