3 Trigonometria 4 Le relazioni nei triangoli Esercizi da pag. 161 e nei quadrilateri L area di un triangolo e di un parallelogramma Il triangolo è senza dubbio la figura geometrica maggiormente analizzata e studiata: tra i suoi elementi, angoli, lati, mediane, bisettrici, ..., è possibile stabilire una serie di relazioni che permettono di ricavare uno di essi in funzione degli altri. Così i teoremi sui triangoli hanno un importante utilizzo nella risoluzione di problemi geometrici che riguardano anche altre figure geometriche piane. Spesso, infatti, per analizzare e risolvere un problema che riguarda una figura poligonale, cerchiamo di individuare in essa opportuni triangoli in cui applicare le relazioni stabilite; ricaviamo così nuovi elementi utili per la successiva indagine. I teoremi che principalmente utilizziamo sono il teorema di Pitagora e i teoremi di Euclide per i triangoli rettangoli, il teorema dei seni e il teorema del coseno nel caso di triangoli qualsiasi. Da questi ricaviamo altre relazioni che è bene ricordare, perché spesso rendono più immediata la soluzione di problemi. Riferiamoci, come già fatto nei precedenti paragrafi, a un triangolo ABC, in cui indichiamo con , , le ampiezze degli angoli di rispettivi vertici A, B, C e con a, b, c le lunghezze dei lati rispettivamente opposti ad A, B, C. C b a c A B TEOREMA L area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto di due lati per il seno dell angolo compreso: 1 1 1 Area = _ bcsen = _ acsen = _ absen 2 2 2 Dimostrazione I caso: angolo acuto C b A H c B AB CH 1 L area è uguale a ________ ma AB = c e CH = bsen quindi Area = _ bcsen 2 2 135