3 Trigonometria Otteniamo analoghe relazioni considerando gli altri due angoli: c b R = _= _ 2sen 2sen FISSA I CONCETTI _____________________________ Formula di Erone: S = p (p a)(p b)(p c ) Il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo è direttamente proporzionale all area del triangolo e inversamente proporzionale al suo perimetro. S r inscr. = _ p Il raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo è direttamente proporzionale al prodotto dei suoi lati e inversamente proporzionale alla sua area: abc a b c R circoscr. = _ R circoscr. = _ = _ = _ 4S 2sen 2sen 2sen I teoremi della mediana e della bisettrice Le applicazioni dei teoremi sui triangoli portano a individuare alcune relazioni per il calcolo delle lunghezze delle mediane e delle bisettrici di un triangolo. TEOREMA (della mediana) In un triangolo ABC, le lunghezze a, b e c dei lati e quelle delle rispettive mediane sono legate dalle seguenti relazioni: ____________________________ A ____________________________ 2 b2 + 2 c2 a2 2 a2 + 2 c2 b2 m a = ______________________________ m b = ______________________________ 2 2 c ____________________________ 2 2 ma mb 2 2 a + 2 b c m c = ______________________________ 2 dove ma, mb e mc indicano rispettivamente la lunghezza della mediana uscente dal vertice A, dal vertice B e dal vertice C. b mc C a B Dimostrazione Indicato con M il punto intersezione della mediana ma con il lato BC, applichiamo il teorema del coseno sia al triangolo ABM che al triangolo AMC, MB (figura in basso): avendo indicato con l angolo A a2 c2 = __ + m2a a ma cos 4 a2 b2 = __ + m2a + a ma cos 4 Addizionando: ____________ a2 1 c2 + b2 = __ + 2m2a ma = __ 2c2 + 2b2 a2 2 2 Allo stesso modo si dimostrano le rela- A zioni per le altre mediane. Ricorda che cos( ) = cos c B b ma a/2 M a/2 C c.v.d. 139