GEOMETRIA esempio O Di un triangolo ABC si conoscono le lunghezze dei tre lati: 7, 5 e 9 unità. Calcola la lunghezza delle tre mediane. B Applicando il teorema precedente: 7 ____________ 1 ma = __ 162 + 50 49 6,38 unità 2 mc C ____________ 1 mb = __ 98 + 162 25 7,66 unità 2 Dimostrazione del teorema (della bisettrice) FISSA I CONCETTI Teorema della mediana: ____________________________ 2 b2 + 2 c2 a2 m a = ______________________________ 2 ____________________________ 2 a2 + 2 c2 b2 m b = ______________________________ 2 ____________________________ 2 a + 2 b c m c = ______________________________ 2 2 2 2 dove ma, mb, mc sono le lunghezze delle mediane Q Teorema della bisettrice: In un triangolo ABC le lunghezze a, b e c dei lati, quelle delle bisettrici (ka, kb e kc) e le ampiezze degli angoli sono legate dalle seguenti relazioni: A 2bc _ _ cos ka = b+c 2 2 2 c b ka 2ac _ _ cos kb = a+c 2 D a C esempio 2 O Sapendo che nel triangolo ABC l angolo ha ampiezza __ , la sua bisettrice è 3 lunga 2,4 unità e il lato a è i due terzi del lato c, calcola la lunghezza dei lati del triangolo. B a 2ac k b = _ cos _ 2 2ab k c = _ cos _ 2 a+b dove ka, kb, kc sono le lunghezze delle bisettrici. B 2ab kc = _ cos _ a+b 2 2bc k a = _ cos _ 2 b+c a+c A TEOREMA (della bisettrice) Approfondisci Q c k b C b A 2 Il lato a è __ del lato c: 3 2 2 _c c 2ac 2 3 _ _ _ cos _ 2,4 = _ c c = 6 unità kb = cos 2,4 = 2 2 3 5 a+c _c + c 2 2 Quindi a = _ c = _ 6 = 4 unità 3 3 3 Per trovare b possiamo applicare il teorema del coseno: 2 b2 = a2 + c2 2ac cos = 16 + 36 48 cos _ = 76 3 _ b = 76 8,72 unità 140 9 ma 5 1 ___________ mc = __ 98 + 50 81 4,09 unità 2 mb