GEOMETRIA B è condotta 191 Internamente a un angolo retto AO 193 Per il vertice A di un triangolo isoscele ABC di __ lato AB = 1 e base BC = 3 si conduce una retta una semiretta OC che forma con OA un angolo A C = x; presi rispettivamente su OA__e OB due O punti M e N tali che OM = 1 e ON = 3, siano M e N le rispettive proiezioni di M e N su OC e sia P il punto medio di M N . Determina come varia la lunghezza di OP in funzione dell angolo x, disegna il grafico di tale funzione e stabilisci quali sono i valori della lunghezza minimo e massimo e in corrispondenza di quali valori di x. _ _ _1_ esterna al triangolo stesso. Indicate con D e E le proiezioni perpendicolari rispettive dei vertici B e C su tale retta e con x l ampiezza dell angolo BA D, esprimi il perimetro del quadrilatero BCED in funzione dell ampiezza x, disegna il grafico di tale funzione e stabilisci per quale valore di x tale perimetro è massimo. __ __ _ _ _ _ [y = (1 + 3 )cos(x 6) + 3 ; 6 ] _ _ [y = sen(x + 6 ;) 2 per x = 0; 1 per x = 3 ] 194 In una semicirconferenza di diametro AB = 2 si B = x. considera il punto variabile C, tale che CA Indicato con D il punto medio dell arco BC, stabilisci come varia l area del quadrilatero ABDC in funzione di x, disegna approssimativamente tale grafico nell intervallo (0; __) e stabilisci se la fun2 zione ha un punto in cui assume un valore massimo: in base a considerazioni di simmetria, qual è il valore di x per cui tale funzione, che rappresenta l area, assume il suo valore massimo? 192 In una semicirconferenza di centro O e diametro AB = 2r sia t la retta parallela ad AB e tangente alla circonferenza nel punto C. Considerato un punto D variabile sull arco AC e detti E e F i punti in cui la perpendicolare per D al diametro AB interseca rispettivamente la retta t e il diametro AB, esprimi come varia il rapporto tra le aree dei triangoli CED e DOF in funzione dell angolo C, disegna il grafico di tale funzione e stax = DO bilisci per quale angolo le due aree sono uguali. 1 cosx __ ________ [y = cosx ; 3 ] _ _ [y = senx(cosx + 1); x = 3 ] Risolvi i seguenti problemi, formalizzandoli con una opportuna equazione goniometrica (di molti problemi viene indicata solo la risposta a uno dei quesiti posti; di alcuni è indicata soltanto l equazione che formalizza le relazioni del problema). esercizio svolto Considera una semicirconferenza di diametro AB avente lunghezza 2r e la tangente a essa in A; determina un punto P della semicirconferenza tale che, dette rispettivamente H ed E le sue proiezioni sul diametro AB e sulla tangente in A, il rapporto del perimetro del rettangolo avente per vertici i punti A, E, P, H _ con il perimetro del triangolo rettangolo isoscele inscritto nella semicirconferenza sia 2( 2  1). C E A Dati del problema __ 2p(AEPH) AB = 2r; _______ = 2( 2 1) 2p(ABC) P x O H B P che deve essere compresa tra 0 e _ _ . Scegliamo come incognita l ampiezza dell angolo BA 2 _ _ AP = x con 0 < x < B 2 166