RELAZIONI E FUNZIONI La definizione di successione convergente appare un po laboriosa. Essa esprime però un concetto intuitivo: diciamo che la successione s tende al numero k se, scegliendo i termini, da un certo punto in poi, essa si avvicina definitivamente a k. 1 Che la successione sopra n 1 + __ converga al valore k = 1 può essere n verificato a partire dalla definizione di successione convergente. Preso un numero piccolo a piacere, per esempio 0,01, vogliamo trovare l elemento an tale che i 1 suoi successivi abbiano distanza da 1 inferiore a 0,01, cioè inferiore a ____. 100 Abbiamo: | | 1 1 1+_ 1 =_ n 100 || 1 _ 1 _ = n 100 1 1 _=_ n 100 n = 100 Il termine a100 differisce da 1 di 0,01; ogni termine successivo (da a101 in poi) ha 1 distanza da 1 minore di ____. 100 Infatti: 1 1 a 100 = 1 + ____ = 1,01 (differisce da 1 di ____); 100 100 1 1 1 a 101 = 1 + ____ 1,001 (differisce da 1 di _____ quindi per meno di ____); 101 1000 100 Una successione, quindi, può comportarsi in modo diverso via via che si considerano i suoi successivi termini: Q può tendere all infinito (per valori positivi o negativi); Q può tendere a un valore finito. y 1 O 1 2 3 4 1 ATTENZIONE! A N confondere convergente o Non divergente con crescente o decrescente. Una successione è: crescente, se i suoi termini sono ciascuno maggiore del precedente; Q decrescente, se i suoi termini sono invece ciascuno minore del precedente; Q convergente, se i suoi termini, pur oscillando o meno, tendono ad approssimarsi a un certo valore (anche se non lo raggiungono mai); Q divergente, se i suoi termini, pur oscillando o meno tendono a essere sempre più grandi in valore assoluto. Q 178 Come possiamo vedere nel seguente esempio, una successione può anche non avere una tendenza definitiva, cioè non tendere all infinito e neppure a un valore finito. Infatti, la successione: n ( 1)n per ogni n N ha come primi termini, come puoi facilmente verificare, i seguenti: 5 6 7 8 x 1 1 1 1 1 I suoi termini sono 1 se n è pari e 1 se n è dispari. Il suo grafico è riportato nella figura a lato. Al crescere di n non tende all infinito e neppure ad alcun valore finito, ma continua a oscillare tra 1 e 1. In questo caso la successione si dice irregolare. Quindi una successione, al crescere di n può anche non tendere né all infinito né a un valore finito. Le successioni crescenti o decrescenti bene non confondere la caratteristica di una successione di essere divergente o convergente con quella di essere crescente o decrescente. Gli aggettivi «crescente o «decrescente indicano soltanto che i termini sono rispettivamente via via più grandi o via via più piccoli. DEFINIZIONE Una successione è crescente se, per ogni n, abbiamo che an > an 1. Una successione è invece, decrescente se per ogni n, abbiamo invece che an < an 1.