4 Successioni e progressioni Gli aggettivi «convergente o «divergente indicano invece la possibilità che esista o meno un numero che sia maggiore (o minore) di tutti i termini della successione, cioè che essa sia o meno limitata. esempio PROVA TU P O Stabilisci se le successioni sono crescenti o decrescenti: n 2(n + 1) i cui primi termini sono: 2, 4, 6, 8, 10, ... 3 2n 1 5 11 23 47 n _________ i cui primi termini sono: 2, __, ___, ___, ___, ... 2 4 8 16 2n y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O V Verifica, utilizzando la definizione, che la seconda successione 3 2n 1 dell esempio n _______ 2n è crescente. y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 x O FISSA I CONCETTI 1 2 3 4 5 x Entrambe le successioni sono crescenti. La prima è divergente, la seconda converge al valore 3. Verifichiamo la crescenza della prima successione utilizzando la definizione. sufficiente verificare che, per ogni n, abbiamo: an > an 1 2(n + 1) > 2n 2n + 2 > 2n 2 > 0 2 Le progressioni aritmetiche Possibili comportamenti di una successione: Q tende all infinito - successione divergente; Q tende a un valore finito successione convergente; Q non ha alcuna tendenza definitiva - successione irregolare; Q crescente - per ogni n si ha che an > an 1 Q decrescente - per ogni n si ha che an < an 1 Esercizi da pag. 206 e le progressioni geometriche Le successioni possono non avere alcuna regolarità né evidente né nascosta: tale, per esempio, è il caso della successione dei numeri primi, ma è abitudine matematica quella di cercare e di studiare le situazioni più regolari. per questo che si dà un nome particolare a quelle successioni che presentano le due forme di regolarità più elementari. DEFINIZIONE Si chiama progressione aritmetica una successione ottenuta a partire da un primo termine addizionando ogni volta lo stesso numero. Tale numero è detto ragione della progressione. KEYWORDS K p progressione aritmetica / arithmetic progression ragione / reason La successione dei numeri naturali (che costituisce la base dell aritmetica) è la più elementare progressione aritmetica, che si ottiene, a partire da 0, aggiungendo ogni volta 1. 179