4 Successioni e progressioni termine, con a1 il secondo e così via; in questo modo il termine an non è il termine n-esimo della successione, ma il suo successivo. Nell esaminare le proprietà delle progressioni, invece, indicheremo con a1 (e non con a0) il primo termine, con a2 il secondo, e così via. In questo modo il termine an è il termine n-esimo. Le progressioni aritmetiche Una progressione aritmetica è, quindi, una successione a1, a2, a3, ..., an, ... in cui è costante la differenza tra ogni termine e il suo precedente. Tale differenza costante è detta ragione della progressione. Gli infiniti termini di una progressione aritmetica sono determinati, una volta che si conoscano il termine iniziale a1 e la ragione d. Con la regola di scrittura introdotta per le progressioni, l n-esimo termine è quello di posto n, cioè an. ATTENZIONE! A P le progressioni indichiamo con Per a1 (e non con a0) il primo termine, con a2 il secondo, ..., con an il termine n-esimo. La ricerca di un generico termine Vogliamo trovare, a partire dal termine iniziale a1 e dalla ragione d, che caratterizzano una progressione aritmetica, un generico termine, l n-esimo, senza dover scorrere tutti i precedenti. TEOREMA L n-esimo termine di una progressione aritmetica di valore iniziale a1 e di ragione d è: an = a1 + (n 1)d Dimostrazione Per definizione di progressione aritmetica, abbiamo: a2 = a1 + d, a3 = a2 + d, a4 = a3 + d, ..., an = an 1 + d, ... Oppure, via via sostituendo: a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d a5 = a4 + d = a1 + 3d + d = a1 + 4d a6 = a5 + d = a1 + 4d + d = a1 + 5d ... an = an 1 + d = a1 + (n 2)d + d = a1 + (n 1)d ... c.v.d. esempi O Trova il ventesimo termine della progressione aritmetica che ha come primo 1 termine 2 e come ragione __. 2 I primi termini della progressione sono: 1 1 3 2 __ 1 __ 0 __ 1 ... 2 2 2 Abbiamo: 1 a20 = a1 + (20 1) ___ 2 1 19 15 a20 = 2 + __ 19 = 2 + ___ = ___ 2 2 2 181