4 Successioni e progressioni Nella rappresentazione cartesiana di una progressione aritmetica consideriamo il segmento che ha come estremi il primo termine a1 e l n-esimo an. Consideriamo poi la retta, parallela all asse delle ascisse che passa per il punto a1 + an medio del segmento. La sua equazione è y = ______ . Su di essa, prendiamo i 2 punti in corrispondenza di 1, 2, 3, ..., n. Le loro ordinate m1, m2, ..., mn costituiscono una successione di termini tutti uguali: a1 + an a1 + an a1 + an a1 + an m1 = ______ m2 = ______ m3 = ______ ... mn = ______ 2 2 2 2 y an (a1 + an) 2 m1 mn a1 O 1 2 3 4 x La somma Sn dei primi n elementi di questa successione di termini uguali è, d altra parte, uguale alla somma dei primi n termini della successione di partenza. Infatti, nella sua costruzione, tanto è stato tolto (o aggiunto) a un termine quanto è stato aggiunto (o tolto) a un altro (considerando coppie di termini, come il primo e l ultimo, il secondo e il penultimo, e così via, che siano equidistanti dagli estremi). a1 + an Perciò: S n = a 1 + a 2 + + a n = m 1 + m 2 + m n = n _ 2 Possiamo riassumere le conclusioni di questo ragionamento nel seguente: APPROFONDIMENTO A U somma i cui termini sono Una definiti da un indice si sintetizza con il simbolo (sommatoria): n a i = a 1 + a 2 + + a n i=1 Questa scrittura si legge sommatoria dei termini ai con i che varia da 1 a n . TEOREMA La somma Sn dei primi n termini di una progressione aritmetica è n volte la media aritmetica tra il primo e l n-esimo termine. 1 esempio O Calcola la somma dei primi n numeri dispari. I numeri dispari costituiscono una progressione aritmetica a partire da 1, di ragione 2. L n-esimo numero dispari è: an = 1 + 2(n 1). La somma è perciò: 1 + 1 + 2(n 1) S n = n _______________________ = n2 2 Quindi, la somma dei primi due numeri dispari è 4, quella dei primi 3 numeri dispari è 9, dei primi 4 è 16 e così via. Generalizzando quanto trovato nell'esempio precedente, troviamo un risultato apparentemente inatteso e notevole: i numeri quadrati perfetti si ottengono addizionando i successivi numeri dispari (visivamente la figura a lato mostra come si costruiscono via via i quadrati perfetti). 4=1+3 9=4+5=1+3+5 16 = 9 + 7 = =1+3+5+7 FISSA I CONCETTI Progressione aritmetica: Q a = a + (n 1)d n 1 (d è la ragione) Q Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica: a1 + an S n = n ______ 2 183