4 Successioni e progressioni 3 1 di valore iniziale ___ e ragione d = ___. 10 10 Quindi esso risulta uguale a: 3 3 _ _ 3 1 10 10 _ _ _ = = =_ 0,3 = 1 9 9 3 1 _ _ 10 10 1 Dunque _ è la frazione generatrice del numero periodico 0,3 . 3 PROVA TU P Ut Utilizzando le progressioni geometriche scrivi il numero 1,2 sotto forma di frazione. Il prodotto dei primi n termini Nel caso di una progressione geometrica di ragione d maggiore di 0 possiamo ricavare una formula per esprimere il prodotto dei suoi primi n termini con il seguente teorema. TEOREMA Il prodotto Pn dei primi n termini di una progressione geometrica (di ragione d > 0) è: ______ Pn = (a1an)n La formula può essere ricavata da quella stabilita per la somma dei primi n tern mini di una progressione aritmetica, Sn = (a1 + an) __, sostituendo in essa l ad2 dizione con la moltiplicazione, la moltiplicazione per n con l elevamento a n e la divisione per 2 con la radice quadrata. Questa procedura segue le corrispondenze tra operazioni viste nel caso del calcolo dell n-esimo termine di una progressione geometrica. esempio O Calcola il prodotto delle prime 5 potenze di 2 (a partire da 21 = 2). Le potenze di 2 costituiscono una progressione geometrica di valore iniziale 2 e ragione 2. a 5 = 25 _ ____________ Approfondisci L andamento di una progressione geometrica con il primo termine negativo APPROFONDIMENTO A (a + b) Il numero m = ______ è la 2 media aritmetica dei due numeri a e b e rappresenta un numero intermedio tra a e b tale che a, m, b sono tre termini successivi di una progressione aritmetica. __ Analogamente il numero p = ab è la media geometrica dei due numeri a e b e rappresenta un numero intermedio tra essi tale che a, p, b sono tre termini successivi di una progressione geometrica. _ P 5 = (a 1 a 5)5 = (2 25)5 = 230 = 215 = 32 768 FISSA I CONCETTI Q Q Q Q Q Q Q an Progressione geometrica: _ =d an 1 Progressione geometrica con a1 > 0: d>1 progressione crescente e divergente; 0 < d < 1 progressione decrescente e convergente a 0; 1 < d < 0 progressione a segni alterni convergente a 0; d < 1 progressione a segni alterni divergente. dn 1 Somma dei primi n termini di una progressione geometrica (di ragione d 1): Sn = a1 _____ d 1 Progressione geometrica: a n = a 1 d n 1 a1 Serie: somma di infiniti termini. S = ____ con 0 < d < 1 1 d _____ Prodotto dei primi n termini di una progressione_geometrica: Pn = (a1an)n Media geometrica tra due numeri a, b: p = ab 189