RELAZIONI E FUNZIONI Esercizi da pag. 215 3 La costruzione di successioni Le successioni definite per ricorrenza Un metodo per descrivere una successione numerica consiste nell indicare il suo primo termine e la regola che permette di costruire ogni altro termine a partire dal suo precedente: è questa la via che abbiamo già seguito, per esempio, per descrivere le progressioni. I termini sono così costruiti applicando ripetutamente la stessa regola. Abbiamo già detto che una successione così costruita si dice definita per ricorrenza. Essa può essere descritta in questo modo: a 1 = termine iniziale {a n = espressione che contiene a n 1 La regola ricorrente per la sua costruzione è indicata nella «espressione che contiene an 1 . Nelle progressioni aritmetiche, per esempio, la regola è «addiziona d , in quelle geometriche è «moltiplica per d . In entrambi i casi essa esprime un termine generico an in funzione del suo precedente an 1. ATTENZIONE! A Ri Ricorda che per le progressioni aritmetiche è an = a1 + d(n 1) e per le progressioni geometriche è an = a1d n 1. KEYWORDS K su successioni definite per ricorrenza / sequence defined by recurrence Come abbiamo già fatto per le progressioni, consideriamo, per maggiore semplicità, N0 come l insieme di definizione delle successioni definite per ricorrenza. Il primo termine è dunque a1 e l n-esimo è an. esempi O Costruisci per ricorrenza la successione dei numeri quadrati: 1 4 9 16 25 ... Ricordiamo che i numeri quadrati si ottengono aggiungendo via via i successivi numeri dispari. La regola è: «addiziona al numero precedente l n-esimo numero dispari . Quindi: a1 = 1 {a n = a n 1 + 2n 1 Infatti otteniamo: a1 = 1 a2 = 1 + 2 2 1 = 4 a3 = 4 + 2 3 1 = 9 a4 = 9 + 2 4 1 = 16 ... O La seguente successione è definita per ricorrenza, a partire dai primi due termini: a 1 = 1 a = 0 2 n a = a n 2 _ n 2 n Scrivi alcuni suoi termini. 190